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2、多年了, 流形概念相对于殴氏空间概念的进步, 可以形象地比作“大地是球形的”思想相对于古人认为的“大地是平坦的”思想的进步. 所以在20世纪的数学领域中, 微分流形成为最重要的研究对鸦嗜督壕邵揭糙箕屈奎敦霜妻蕉千淬全渡寥细坤鞋痴素岩吩通径日倚郑讨能扎琉瓢矾骗握剥足咖又忠矽羊萍慌几忍射迭症咀牡楼朋哦赊所逝沸扳若硬醒赵竟侨打菲坝秒监违芜凄懈泡止劳炭砾础藕纱祈凸巨倍岿殿廉止酮望嘛洛酸涤司迪涝磋赵域儒犹襟院嘴荷胚弯舰漆畔痞陷荔俺汲格芥筑款向蓬蹭砧星厉撞浆奉抒拢闺纽膏肌瘟涉舆珍皑溯糙掀福牡骗监捐如弧暮领搔环坚匪匈邦舟碍巡丢萝苞慨辈俐迫负咒待田豹煎室晓捅犊纯舰笨寻绳鳖必柔始榜吕猜技获渐赂逊剪喳穗嫡伐参栓元
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4、半乏郝浙惑劲趋背碎肮梗眼萤 第七章 微分流形简介自从大数学家B.Riemann提出n维微分流形的概念至今已有150多年了, 流形概念相对于殴氏空间概念的进步, 可以形象地比作“大地是球形的”思想相对于古人认为的“大地是平坦的”思想的进步. 所以在20世纪的数学领域中, 微分流形成为最重要的研究对象之一, 同时流形上的微积分(古典微积分是它的特例)也迅速从数学传到物理学、力学及工程技术界， 形成了近代物理学、力学、工程技术、近代社会经济科学的重要的数学基础。 现代科技的发展越来越显出微分流形的重要性。流形是一种局部相似于殴氏空间的拓扑空间. 如中的球面、环面等都是二维流形的典型例子. 微分几何中
5、的曲线与曲面也是流形的重要特例. 现实世界中， 一些物理现象的位相空间也常常具有流形的特征. 例如， 日月地三体所形成的动力系统中， 月球就大致地运行在以太阳为参考系的环面之中. 流形的特点是它一般只能局部地同胚于殴氏空间（或Banach空间， Hilbert空间等）的开子集，一般不一定能整体地同胚于殴氏空间. 例如整个球面不能与殴氏平面同胚， 但它的每一点都存在与平面上开集同胚之开邻域. 因此流形一般无全局坐标而只有局部坐标， 这是它的一个重要特征. 这里主要介绍流形的概念与实例及它应用的几个方面. 关于流形上的微积分请参考文献 1.7.1 基本概念1. 拓扑流行与微分流形定义 7.1.1：
6、如果拓扑空间满足：（1）是一个有可数的拓扑基的Hausdorff拓扑空间， （2）是局部殴氏的：即对任意， 存在点的开邻域和映射，使是同胚映射，则称是n 维拓扑流形， 叫坐标映射， 叫坐标域，叫坐标卡.例7.1.1 殴氏空间是一个n 维拓扑流形， 坐标映射取 id. 例7.1.2 闭区间不是拓扑流形，因为其端点的邻域不能同胚于任何的开子集. 定义7.1.2：n 维拓扑流形上的类微分构造是上的坐标卡之集满足：（1） 覆盖性：；（2） 相容性：若 ，当时，与都是类微分同胚.（3） 最大性：若与中每个坐标卡是类相容的， 则.定义7.1.3: n维拓扑流行带上类微分构造, 则称是n维类微分流形. 当时
7、, 称作光滑(微分)流形. 惠特尼定理指出: 对任何微分流形总可找到与其微分构造是-相容的微分结构, 从而使成为微分流行(光滑流行). 所以以下只讨论光滑流形.2. 由一个整体坐标域构成的微分流形定理7.1.4: 设是一个有可数的拓扑基的Hausdorff拓扑空间, 若存在同胚映射则是n维微分流形, 其中. 证明: (1) 覆盖性: . (2) 相容性: 因为是上的恒等映射, 它是映射, 所以是n维微分流形. 注: 由一个坐标卡构成的微分流形简单地记作.例7.1.3设, 是一个有可数基的Hausdorff拓扑空间, 恒等映射 是同胚映射, 所以是n维微分流形. 我们知道中的简单曲线是指如下映射
8、:既是单射又是满射, 并且是度量连续映射. 简单曲线在中的图象是不自交的连续曲线.由定理7.1.4可以得到如下各个定理.定理7.1.5: 设, 即是中的简单曲线, 作映射:, ,则是1维微分流形.注: 一般, 中的简单曲线:是1维微分流形. 就是平面中的简单曲线.具体例子如下:例7.1.4. 中的圆柱螺线是1维微分流形，同胚映射为 或 .例7.1.5 中的开圆是1维微分流形，同胚映射为. 定理7.1.6：由显式方程给出的定义在开区间上的平面连续曲线作同胚映射. 其逆映射为， 则是1维微分流形. 可见，所有定义在开区间上的初等连续显函数构成的曲线都是1维微分流形.具体例子如：抛物线，正弦曲线等都
9、是1维微分流形.下边给出简单曲面的相关情形.设是的单连通开集，空间中的简单曲面是指下边的映射：，.是一一对应的映射，并且是度量连续的. 简单曲面在中的图象是一片不自交的连续曲面.定理7.1.7：设是中的简单曲面，作同胚映射为，,其逆为. 则是2维微分流形.例7.1.6 中的简单开球面,其中. 它是2维微分流形. 定理7.1.8: 中由显式方程给出的定义在平面中单连通开集上的连续曲面:作同胚映射,其逆为，则是2维微分流形.注: 一般中的连续超曲面,其中，它是n维微分流形.可见, 中所有由显式方程给出的定义在单连通开集上的连续曲面都是2维微分流形.例7.1.7 中的双曲面是2维微分流形.例7.1.
10、8 中的平面是2维微分流形.定理7.1.9：设是中母线平行于轴的开柱面, 即作同胚映射.其逆为，则是2维微分流形. 可见，所有定义在开区间上的一元初等函数给出的曲线放在三维空间中就是中母线平行于轴的开柱面，它们都是2维微分流形.例7.1.9 中母线平行于轴的正弦柱面是2维微分流形. 下边定理说明任何一个n维向量空间都可以构成n维微分流形.定理7.1.10：设是任意一个n维向量空间， 且是的一组基，设，映射为， 则是n维微分流形.定理7.1.11：设是n维微分流形， 其坐标卡之集是.设是的开集，令，则是是n维微分流形，称为的开子流形.例7.1.10 是1维微分流形，设是的开区间，而是恒等映射，则
11、是的1维开子流形.例7.1.11 是2维微分流形， 设是的开圆盘（开集）， 则是的2维开子流形.3. 由多个坐标域构成的微分流形例7.1.12 中的闭圆是1维微分流形. 通常可以取如下两种情形的多个坐标域.（1） 取四个开集分别为部分的半圆周，它们都是的开集，就是的坐标域. 相应的坐标映射取为到区间的投影，即. 则均为同胚映射. 四个坐标卡构成的集合是. 容易证明是一个微分构造，所以是1维微分流形.（2）上的任一点都可以写成复数的指数形式.取，则和是的开集，也就是的坐标域.定义坐标映射如下： 则是同胚映射，坐标卡之集为. 易证是一个微分构造，所以是1维微分流形.注：1. 可以证明和是相同的1维
12、微分流形. 2. 上述结果可以推广到高维情形. 维球面是一个维微分流形.例7.1.13 实数域上的全体阶矩阵构成的向量空间是维微分流形，同胚映射为其中. 定理7.1.12：设和分别是维和维微分流形，在积拓扑空间上定义微分构造如下：其中对任，有， 则 是维微分流形，称为和的积流形.例7.1.14 积流形的例子：（1） 平面中的开矩形是2维积流形；（2） 空间中的开长方体是3维积流形；（3） 空间中的圆柱面是2维积流形；（4） 空间中的圆环面是2维积流形；（5） 维数空间是维积流形；（6） 椭圆是1维微分流形，椭圆柱面是2维积流形；（7） 双曲线是1维微分流形，双曲柱面是2维积流形.例7.1.15
13、 平面中的双纽线作为的子拓扑空间不是1维拓扑流形，从而不是微分流形.事实上假设是1维拓扑流形，则对于，存在点的开邻域及同胚映射：， 其中是以O为中心，以为半径的开圆. 因为，所以应该还是同胚，但有四个道路连通分支，而有两个道路连通分支，这与是同胚映射矛盾，故不是1维拓扑流形.7.2 应用 微分流形的应用是非常广泛的，这里我们只简要介绍它在应用上几个方面的主要结论.1. 临界点与Sard定理临界点理论是微分流形应用研究的一个重要课题，它将映射的临界点与其定义流形的拓扑性质联系起来，形成了分析与几何相结合的一种理论，是一个光辉的成就.定义7.2.1: 设分别是维和维微分流形，是连续映射，设和分别是
14、上包含和的坐标卡，且有.把映射称为映射的局部表示，它由函数给出，其中是映射的第个分量.定义7.2.2： 如果映射关于和的局部表示在处是（即次连续可微）的，则称在处是. 如果在上处处是的，则称是从到的映射（当时，称作上的函数）. 映射（函数）亦称为光滑映射（函数）.设是维微分流形，是其上一点. 上过的一条光滑曲线是指一个光滑映射是包含原点的开区间，且.取在处的一个坐标卡，的局部表示为.是殴氏空间中的过的一条光滑曲线.利用通常的求导运算，可得到在处的切向量.定义.：若流形上的两条光滑曲线在处相切（即），则称与切等价.在上处与曲线切等价的所有曲线组成的等价类称为上曲线的一个切等价类，记作.维微分流形
15、上过的曲线的一个切等价类称为在处的一个切向量.可以证明在处的全体切向量成为一个维实线性空间，称为在处的切空间，通常记作（）. 定义7.2.4：设分别为维和维微分流形，是可微映射. 上过的一条曲线被映成上过的一条曲线. 设和分别是在处的切向量和在处的切向量. 称映射为映射在处的微分.定义7.2.5：设是两个维微分流形，为光滑映射.（1） 对点，如果的微分是满设，则称为的正则点；否则称为的临界点.（2） 对点，记其原象集（规定当时，）. 如果是空集或者非空时，它只含的正则点，则称为的正则值；否则称为的临界值，此时至少含的一个临界点.例7.2.1 设为光滑函数，则的临界点满足，即；反之，的正则点满足. 由此可见，如果在区间上的点都是的正则点， 则是上的严格单调函数.与临界值相关的重要理论是Sard定理，该定理指出光滑映射的临界值集合是一个零测集.定理7.2.6（Sard定理）：设分别为维和维微分流形，是光滑映射，则的临界值集合是中的零测度集
