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1、抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理】1抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线2抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.开口方向右左上下标 准方 程焦 点位 置X正X负Y正Y负焦 点坐 标准 线方 程范 围对 称轴X轴X轴Y轴Y轴顶 点坐 标（0,0）离心率通 径2p焦半径焦点弦长焦点弦长以为直径的圆必与准线相切整理为word格式的补充若的倾斜角为，若的倾斜角为，则 3抛物线的几何性质：
2、(1)范围 因为p0，由方程可知x0，所以抛物线在轴的右侧， 当的值增大时，|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向(3)顶点（0，0），离心率：，焦点，准线，焦准距p(4) 焦点弦：抛物线的焦点弦，,则 弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。4焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点(1) 若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，则：，。(2) 若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为，则（0）。(3) 已知直线AB是过抛物线焦点F ,(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径
3、(5) 两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5弦长公式：,是抛物线上两点，则【经典例题】 （1）抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）整理为word格式相交 相切 相离 位置由P确定【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是.作PH于H，交y轴于
4、Q，那么，且.作MNy轴于N则MN是梯形PQOF的中位线，.故以PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证：（1） （2）【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作，.两式相加即得：（2）当ABx轴时，有成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：.化简得：方程（1）之二根为x1，x2，.整理为word格式.故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成
5、立.（3）切线抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）【证明】对方程两边取导数：.由点斜式方程： y0y=p（x+x0）（4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点 （ ）显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.2.抛物线的通径长为2p；3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：
6、以下再举一例【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为，整理为word格式那么：设抛物线的准线交x轴于C，那么.这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法 特法 妙法（1）解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例5】（10.四川文
7、科卷.10题）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（ ）A.3 B.4 C.3 D.4【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】点A、B关于直线x+y=0对称，设直线AB的方程为：. 由设方程（1）之两根为x1，x2，则.设AB的中点为M（x0，y0），则.代入x+y=0：y0=.故有.从而.直线AB的方程为：.方程（1）成为：.解得：，从而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，选C.（2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又
8、使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，则的面积（ ）A B C D【解析】如图直线AF的斜率为时AFX=60.AFK为正三角形.设准线交x轴于M，则整理为word格式且KFM=60，.选C.【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的面积用公式计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法追本求真的简单一着
9、许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的线为，焦点为与的一个交点为，则等于（ ）A B C D【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c，离心率为e，作 ，令.点M在抛物线上，这就是说：的实质是离心率e.其次，与离心率e有什么关系？注意到： . 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于.选 A.整理为word格式（4）三角法本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的
10、解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。（）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。【解析】（）焦点F（2，0），准线.（）直线AB：代入（1），整理得：设方程（2）之二根为y1，y2，则.设AB中点为AB的垂直平分线方程是：.令
11、y=0，则故于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值.（5）消去法合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线：（1）与抛物线有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程.【解析】假定在抛物线上存在这样的两点整理为word格式线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且.设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是：AB中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为：
12、（6）探索法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例10】（10.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn-1Pn-1Pn-1,当n时，这些三角形的面积之和的极限为 . 【解析】设OA上第k个分点为第k个三角形的面积为： .故这些三角形的面积之和的极限 友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！ 整理为word格式
