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1、 1 1第01节 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测1.任意角的概念、弧度制了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.无1.三角函数的定义； 2.扇形的面积、弧长及圆心角.3.备考重点： (1) 理解三角函数的定义；(2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式.2.三角函数的定义理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.无【知识清单】1象限角及终边相同的角1任意角、角的分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角：终边与角相同的角可写成k360(kZ)2.弧度制：1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫
2、做1弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关3.弧度与角度的换算：3602弧度；180弧度对点练习：下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2k45(kZ) B.k360(kZ)C.k360315(kZ) D.k(kZ)【答案】C.确.2三角函数的定义1.任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin y，cos x，tan ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐
3、标或坐标的比值为函数值的函数2 三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3.三角函数线设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_，sin_)，即P(cos_，sin_)，其中cos OM，sin MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线.三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线对点练习：【河南省林州一中20xx-20xx上学期开
4、学】已知角终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于，所以由三角函数的定义可得，应选答案B.3. 扇形的弧长及面积公式弧长公式：l|r，扇形面积公式：S扇形lr|r2.对点练习：已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】(1) (cm).(2)圆心角为.(3)l10，2.【解析】(1)60 rad，lR10(cm). 【考点深度剖析】 高考对任意角三角函数定义的考查要求较低，
5、均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求学生深刻认识利用坐标法定义任意角三角函数的背景和目的纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标【重点难点突破】考点1 象限角及终边相同的角【1-1】已知角45，(1)在7200范围内找出所有与角终边相同的角；(2)设集合，判断两集合的关系【答案】（1）675或315.(2).【解析】(1)所有与角有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而k2或k1，代入得675或315.(2)因为Mx|x(
6、2k1)45，kZ表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合Nx|x(k1)45，kZ表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而.【1-2】若且，则角的终边所在象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【答案】A【1-3】终边在直线yx上的角的集合为_【答案】|k，kZ【解析】终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ【1-4】若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限.【解析】角是第二象限角， ，（1）， 角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上综上所述，的终边在第一象限或第三象限【领悟
7、技法】1.对与角终边相同的角的一般形式k360(kZ)的理解;(1)kZ;(2)任意角;(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.2.利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角3.已知角的终边位置，确定形如k，等形式的角终边的方法：先表示角的范围，再写出k、等形式的角范围，然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置【触类旁通】【变式一】如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为()【答案】C当t0时，d，排除A、D；当
8、t时，d0，排除B. 考点2 三角函数的定义【2-1】已知角的终边经过点P(m，3)，且cos ，则m等于()A B. C4 D4【答案】C【解析】由题意可知，cos ，又m0)，则tan 的最小值为()A1B2 C. D.【答案】B【解析】根据已知条件得tan t2，当且仅当t1时，tan 取得最小值2.【2-4】已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为()A. B. C. D.【答案】D【领悟技法】1.已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解2.已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定
9、义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值【触类旁通】【变式一】已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3【答案】A【解析】cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上20时，rk，sin ，10sin 330；当k0时，rk，sin ，10sin 330.综上，10sin 0.考点3 扇形的弧长及面积公式【3-1】【黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】若扇形的圆心角，弦长，则弧长_ 【答案】【解析】画出图形，如图所示. 设扇形的半径为rcm，由sin60=，得r=4cm，
10、l=4= cm.【3-2】已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【答案】 当r10，2时，扇形面积最大【领悟技法】(1)弧度制下l|r，Slr，此时为弧度在角度制下，弧长l，扇形面积S，此时n为角度，它们之间有着必然的联系(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形【触类旁通】【变式一】一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A. B. C. D.【答案】C 【变式二】一扇形的圆心角为120，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为_【答案】(74)9【解析】设扇形半径为R，内切圆半径为r.则(Rr)sin 60r，即R1
11、r.又S扇|R2R2R2r2，. 【易错试题常警惕】易错典例：已知角的终边过点,求角的的正弦值、余弦值.易错分析：学生在做题时容易遗忘的情况正确解析：当时，；当时，温馨提醒：本题主要考察了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休。数与形反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半
