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1、.线面垂直的证明中的找线技巧通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直1如图1,在正方体中,为的中点,AC交BD于点O,求证：平面MBD求的体积练习1：如图,在四棱锥中,平面平面,是等边三角形,已知,ABCMPD设是上的一点,证明：平面平面；求四棱锥的体积练习2、已知是矩形,平面,为的中点求证：平面； 利用面面垂直寻求线面垂直例2如图2,是ABC所在平面外的一点,且PA平面ABC,平面PAC平面PBC求证：BC平面PAC练习3 如图所示,ABCD为正方形,平面ABCD,过且垂直于的平面分别交于求证：,应用等腰三角形三线合一性质所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以很轻松的得到线
2、线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作.图2例3：如图2所示,已知垂直于所在平面,是的直径,是的圆周上异于、的任意一点,且,点是线段的中点.求证：平面.应用两条平行线的性质大家知道两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直,则两条平行线都与平面中的直线垂直. 在三角形中位线与底边平行,可以得到线线平行的关系,平行四边形对边平行也可以得到线线平行,这样的结论很多,我们可以欣赏体会这样的方法.图3例3:如图3所示,为所在平面外一点,平面,为的中点,为的中点,在上,求证:平面.应用平面图形的几何性质我们都发现在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很重要的地位,在学习立体几何的过程中,平面
3、几何的诸多知识点不能推广到三维空间,但同学们要注意平面图形的性质在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用.例4:如图4所示,四边形是边长为1的菱形,点是菱形所在平面外一点,是的中点,平面,求证:平面. 图44 如图,在三棱锥BCD中,BCAC,ADBD,作BECD,为垂足,作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点,连结CF,DF, , 又,平面CDF平面CDF, 又,平面ABE,平面BCD评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时,又转化为证明线面垂直如此反复,直到证得结论5 如图,是圆的直径,是圆周上一点,平面ABC若AEPC ,为垂足,是P
4、B上任意一点,求证：平面AEF平面PBC证明：AB是圆的直径,平面ABC,平面ABC,平面APC平面PBC,平面APC平面PBCAEPC,平面APC平面PBCPC,AE平面PBC平面AEF,平面AEF平面PBC评注：证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系2解平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD2ABCABC是正三棱柱,底面边长为a,D,E分别是BB,CC上的一点,BDa,ECa1求证：平面ADE平面ACCA；2求截面ADE的面积1证明分
5、别取AC、AC的中点M、N,连结MN,则MNAABB,B、M、N、B共面,M为AC中点,BC=BA,BMAC,又BMAA且AAAC=ABM平面AACC设MN交AE于P,CEAC,PNNA又DBa,PNBDPNBD,PNBD是矩形,于是PDBN,BNBM,PDBMBM平面ACCA,PD平面ACCA,而PD平面ADE,平面ADE平面ACCA2解PD平面ACCA,PDAE,而PDBMa,AEaSADEAEPD1、S是ABC所在平面外一点,SA平面ABC,平面SAB平面SBC,求证ABBC.SACB2、在四棱锥中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD证明:AB平面VADVDCBA 3、如图,棱柱的侧面 是菱形,证明：平面平面如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD, ABC60,PAABBC,E是PC的中点求证：CDAE；求证：PD面ABE. 4、如图,四棱锥中,底面为平行四边形。 底面 ,证明：.
