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1、2008年高考数学试题分类汇编数列一 选择题：1.（全国一5）已知等差数列满足，则它的前10项的和（ C ）A138B135C95D232.（上海卷14）若数列an是首项为1，公比为a的无穷等比数列，且an各项的和为a，则a的值是（B ）A1 B2 C D3.（北京卷6）已知数列对任意的满足，且，那么等于（ C ）ABCD4.（四川卷7）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(D )（）（）（）（）5.（天津卷4）若等差数列的前5项和，且，则B（A）12（B）13（C）14（D）156.（江西卷5）在数列中，则AA B C D7.（陕西卷4）已知是等差数列，则该数列前10项和等于（ B ）
2、A64B100C110D1208.（福建卷3)设an是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列an前7项的和为CA.63B.64C.127D.1289.（广东卷2）记等差数列的前项和为，若，则（ D ）A16B24C36D4810.（浙江卷6）已知是等比数列，则=C（A）16（）（B）16（）（C）（）（D）（）11.（海南卷4）设等比数列的公比，前n项和为，则（ C ）A. 2B. 4C.D. 二 填空题：1.（四川卷16）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_。安徽卷（14）在数列在中，,其中为常数，则的值是 12.（江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5
3、 67 8 9 10按照以上排列的规律，第n 行（n 3）从左向右的第3 个数为3.（湖北卷14）已知函数,等差数列的公差为.若,则.64.（湖北卷15）观察下列等式：可以推测，当2（）时，.，05.（重庆卷14)设Sn=是等差数列an的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16=.-72三 解答题：1.（全国一22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：解析：（）证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数；（）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，即
4、成立；（）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得.而，则，也就是说当时，也成立；根据（）、（）可得对任意的正整数，恒成立.（）证明：由可得1， 若存在某满足，则由知：2， 若对任意都有，则，即成立.2.（全国二20）（本小题满分12分）设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解：（）依题意，即，由此得4分因此，所求通项公式为，6分（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是12分3.（四川卷20）（本小题满分12分）设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式【解】：由题意知，且两式相减得即（）当时，由知于是又，所以是首项为
5、1，公比为2的等比数列。（）当时，由（）知，即当时，由由得因此得4.（天津卷20）（本小题满分12分）在数列中，且（）（）设（），证明是等比数列；（）求数列的通项公式；（）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法满分12分（）证明：由题设（），得，即，又，所以是首项为1，公比为的等比数列（）解法：由（），（）将以上各式相加，得（）所以当时，上式对显然成立（）解：由（），当时，显然不是与的等差中项，故由可得，由得，整理得，解得或（舍去）于是另一方面，由可得，所以
6、对任意的，是与的等差中项5.（安徽卷21）（本小题满分13分）设数列满足为实数（）证明：对任意成立的充分必要条件是；（）设，证明：;（）设，证明：解(1)必要性：，又，即充分性：设，对用数学归纳法证明当时，.假设则，且，由数学归纳法知对所有成立(2) 设，当时，结论成立当时，,由（1）知，所以且(3)设，当时，结论成立当时，由（2）知6.（山东卷19)。(本小题满分12分)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和，且满足
7、1=（n2）.()证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k3)行所有项和的和.()证明：由已知，（）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q0.因为所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故a82在表中第13行第三列，因此又所以q=2.记表中第k(k3)行所有项的和为S，则（k3）.7.（江苏卷19）.（）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：当n =4时，求的数值；求的所有可能值；（）求证：对于一个给定
8、的正整数n(n4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用（）当n4 时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d0若删去，则有即化简得0，因为0，所以=4 ；若删去，则有，即，故得=1综上=1或4当n5 时，中同样不可能删去首项或末项若删去，则有，即故得=6 ；若删去，则，即化简得30，因为d0，所以也不能删去；若删去，则有，即故得= 2 当n6 时，不存在这样的等差数列事实上，在数列，中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与d0 矛盾；同样若删去也有，这与d0 矛
9、盾；若删去，中任意一个，则必有，这与d0 矛盾综上所述，n4，5（）略8.（江西卷19）（本小题满分12分）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，.（1）求；（2）求证.解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，依题意有由知为正有理数，故为的因子之一，解得故（2）9.（湖北卷21）.(本小题满分14分)已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比
10、数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1x-(+18),所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.()由（）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要
11、求.-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=-要使aSnb对任意正整数n成立，即a-(+18)1（）nb(nN+) 当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=,于是，由式得a-(+18),当a3a存在实数，使得对任意正整数n,都有aSnb,且的取值范围是（b-18,-3a-18）.10.（湖南卷18）.（本小题满分12分）数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当解: ()因为所以一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知，-得，所
12、以要证明当时，成立，只需证明当时，成立.证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即则当n=k+1时，由(1)、(2)所述，当n6时，.即当n6时，证法二令，则所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，11.（陕西卷22）（本小题满分14分）已知数列的首项，（）求的通项公式；（）证明：对任意的，；（）证明：解法一：（），又，是以为首项，为公比的等比数列，（）由（）知，原不等式成立（）由（）知，对任意的，有取，则原不等式成立解法二：（）同解法一（）设，则，当时，；当时，当时，取得最大值原不等式成立（）同解法一12.（重庆卷22）（本小题满分12分，（）小问5分，（）小问7分.）设各项均为正数的数列an满足.（）若，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；（）记对n2恒成立，求a2的值及数列bn的通项公式.解：()因由此有，故猜想的通项为（）令由题设知x1=1且因式对n=2成立，有下用反证法证明：由得因此数列是首项为，公比为的等比数列.故又由知因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以
