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1、精品文档建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等常用公式：1、求线段的长度：2、求P点到平面的距离：，（N为垂足，M为斜足，为平面的法向量）3、求直线l与平面所成的角：，(,为的法向量)4、求两异面直线AB与CD的夹角： 5、求二面角的平面角：，（ ，为二面角的两个面的法向量）6、求二面角的平面角：，（射影面积法）7、求法向量：找；求：设 为平面内的任意两个向量，为的法向量，则由方程组，可求得法向量高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行
2、垂直角距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。一直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例1. (2002年全国高考题)如图，正方形ABCDABEF的边长都是1，而且平面ABCDABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（）。 （1）求MN的长； （2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的大小。解：（1）以B为坐标原点，分别以BABEBC为xyz轴建立如图所示
3、的空间直角坐标系B-xyz，由CM=BN=a，M(，0，),N（，0） =(0，) =（）（2）由（1）=所以，当a=时，=，即MN分别移动到ACBF的中点时，MN的长最小，最小值为。（3）取MN的中点P，连结APBP，因为AM=AN，BM=BN，所以APMN，BPMN，APB即为二面角的平面角。MN的长最小时M(，0，),N（，0） 由中点坐标公式P(，),又A（1，0，0），B（0，0，0） =(，-，-)，=(-，-，-) cosAPB=- 面MNA与面MNB所成二面角的大小为-arccos例2.(1991年全国高考题)如图，已知ABCD是边长为4的正方形，EF分别是ABAD的中点，GC
4、面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题意 C（0，0，0），G（0，0，2），E（2，4，0），F（4，2，0），B（0，4，0） =（2，4，-2），=（4，2，-2），=（2，0，0）设平面EFG的法向量为=（x，y，z），则，得，令z=1，得x=，y=，即=（，1），在方向上的射影的长度为d =例3. (2000年二省一市高考题) 在直三棱柱ABC- A1B1C1中CA=CB=1，BCA=900，棱A A1=2，MN分别是A1B1A1 A的中点。（1）求的长； （2） 求cos；（3）求证：A1BC1M 解：建立如图所示的空间直
5、角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），B（0，1，0）， N（1，0，1），A1（1，0，2），B1（0，1，2），C1（0，0，2），M(，2)（1）=（1，-1，1）， 故=；（2）=（0，1，2），=（1，-1，2） cos= （3）=（-1， 1，-2），=(，0) = -1+1+(-2)0=0 A1BC1M二利用图形中的对称关系建系。有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥正四棱锥正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题。例4. (2001年二省一市高考题)如图，以底面边长为2a的正四棱锥V-ABCD底面中心O为
6、坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中OxBC，OyAB，E为VC的中点，高OV为h 。（1）求cos； （2）记面BCV为，面DVC为，若BED是二面角-VC-的平面角，求BED 。解：（1）由题意B（a，a，0），D（-a，-a，0），E（-，） =（-，-，），=（，） cos= =（2） V（0，0，h），C（-a，a，0） =（-a，a，- h）又 BED是二面角-VC-的平面角 ，即 =-= a2-=0， a2=代入 cos=-即BED=-arccos 三利用面面垂直的性质建系。有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理
7、，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系。例5. (2000年全国高考题) 如图，正三棱柱ABC- A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a 。（1） 建立适当的坐标系，并写出ABA1C1的坐标；（2） 求 AC1与侧面AB B1A1所成的角。解：（1）如图，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，以经过原点且与ABB1A1垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系。由已知得：A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，a），C1（-，a）（2）取A1B1的中点M，于是有M（0，a），连AMMC1有 =（-，0，0），且=（0，a，0），=（0，
8、0，a）由于=0，=0，故MC1平面AB B1A1 。 A C1与AM所成的角就是AC1与侧面AB B1A1所成的角。 =（-，a），=（0，a）, =0+2a2 =, =a ，= cos= 与所成的角，即AC1与侧面AB B1A1所成的角为30o 。例6. (2002年上海高考题) 如图，三棱柱OAB- O1A1B1，平面OBB1O1平面OAB，O1OB=600, AOB=900，且OB= OO1=2，OA=。 求：（1）二面角O1ABO的大小； （2）异面直线A1B与A O1所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）解：（1）如图，取OB的中点D，连接O1D，则O1DOB 平面OBB1O1平
9、面OAB， O1D面OAB，过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E， 则O1EOB，DEO1为二面角O1AB-O的平面角。由题设得O1D=sinOBA= DE=DBsinOBA= 在RtO1DE中，tanDE O1= DE O1=arctan，即二面角O1ABO的大小为arctan。（2）以O为原点，分别以OAOB所在直线为xy轴，过点O且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系。则O（0，0，0），O1（0，1，），A（，0，0）， A1（，1，）， B（0，2，0），则=（-，1，-），=（，-1，-）cos，=-故异面直线A1B与A O1所成角的大小arccos。姓 名： 张传法 地 址： 山东临沂市罗庄区一中 （276017）E-mail : （注：本文发表于数学通讯2004年第6期）欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求1欢迎下载。
