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1、机械最优化设计作业信赖域方法靛弑豪优牝it针課*DAE1信赖域方法的综述信赖域法和线性搜索方法是求解非线性优化问题的两 类主要的数值方法。信赖域法也是一种迭代算法，即从给 定的初始解出发，通过逐步迭代，不断改进，直到获得满 意的近似最优解为止。特点：思想新颖，具有可靠性、有效性和很强的收敛 性。与线性搜索方法相比，信赖域方法直接通过模型求解 得到试探步长，而不是先确定搜索方向，再寻找步长。线搜索方向可以看成是信赖域半径充分大时的信赖域 步；而信赖域方法得出的信赖步可看成是将二次逼近模型 加上一个惩罚项之后所导致的线搜索方向。基本思想在每次迭代中给出一个信赖域，这个信赖域一般是当 前迭代点的一个
2、小邻域。然后在这个邻域内求解一个子问 题，得到试探步长(Mai step),接着用某一评价函数来决 定是否接受该试探步长以及决定下一次迭代的信赖域。 如果试探步长被接受，贝Q：Xk+ Xk Sk 否则，Xk+ = Xk o新的信赖域的大小取决于试探步长的好坏，粗略地说，如 果试探步长较好，在下一步信赖域扩大或保持不变，否则 下一步减小信赖域。QmDAE算法模型设当前点不的邻域定义为：Q, =(/?,|x-xA | Aj(1)其中，称为信赖域半径。利用二次逼近，构造如下信赖域子问题： min q,k)(5) = f(xk) +1 sf BksM |忖侶从其中，/(血)为目标函数,s = x-xk
3、,gk =Vf(xk)RBk = c re或者其近似。Q1MIIDAE算法模型设是信赖域子问题(2)的解，定义目标函数第k步 的真实下降量为：力 redk = /UJ- f(xk + )称二次模型函数q($)的下降量为预测下降量：Predk =q(k)(0) q(k)(5j定义比值：A red,rk =.Pi讪它衡量了二次模型与目标函数的逼近程度7越接近于1, 表明接近程度越好。因此用它来确定下次迭代的信赖域半 径。5豪优比IIM DAE信赖域半径的选择(1) 7越接近于1,表明接近程度越好，这时可以增大以扩大信赖域；(2) 乙0但是不接近于1,保持人不变；(3) 如果几接近于0,减小(,编小
4、信赖域。或者其他的选择方法(后面介绍)。信赖域算法Stepl.给出初始点兀，信赖域半径的上界Z, Ao e （0,A）, 0 ,0 m 1,（） yx 7/IXk+ - xkorStep5.校正信赖域半径，令知g （0,if rk DAE信赖域算法Step6.令k=k+l,转Step2.0 ,0 772 v 1,0 v 兀 1 &，信赖域扩大； 成功迭代：7丘,77，信赖域维持不变 不成功迭代：乓5，信赖域缩小。算法参数选择：i=0.01, 72 = 0.75,人=0.5, y? = 2 （）= 1，或者Ao = |g0|.解信赖域子问题信赖域方法在每步迭代中求解下列形式的子问题：min q,
5、k)(5) = f(xk) + g1ks + srBksIM帆丛其中，/(母)为目标函数，$ =兀-母，g& =W(X)wR，E = V2/(a)e疋或者其近似i为信赖域半径,S为待求 变量。当乂变化时，S的解形成一条空间曲线，称为最优 曲线。Powell1970给出了求解(2)的单折线法，当城可逆时。 用连接初始点、S。及$的单折线近似最优曲线，在折线上 取点于使得|列=织作为(2)的解 o优代读计课祖-inUDAE解信赖域子问题其中耳是Cauchy点(由最速下降法产生的极小点)；归是牛斬 (由牛顿方法产生的极J、点x爲)os = s(k = -&宀=sk =k .2.2如果時 A,则=忑+
6、久（s? -5；2其中，2为方程：成+兄（昭-） = *的解。QDAE解信赖域子问题综上所述：洱耳+1 =耳+s；+兄（昭-必）,当圈 上 耳当b； V亠且k 亠QiwDAE数值实验min f(x) = 1000；2 x)2 +(1Xi)?初始点（兀0）迭代次数/（X）的値谋差（Ils -次(0. 0.0. 0) r48. 291 6 - 0146. 443 9-0(0. 5.0.5)r52. 379 4 e - 0163. 45 1 6r -0(-1.2, 1.0) 781. 219 6 e- 0137. XI 5-(2. 0.2.0)r142. 93 1 5 e - 0131. 21 1
7、6r -0(5. 0.5.0)r92. 348 0 r - ()131. 083 7芒-0(-5.0, - 5. 0)T71. 2()4 3 e - 0137. 766 (V 一0选(-1.2,1)为初始点，与其他方去做对比：方法迭代次数函数值误差最优点误差信赖域8122(13)7.8&(7)共梔方向169.4*e(-9)1.5*e%5)变尺度329.4*eA(-9)1.5*e 八(5)优代读针課杰壬二） daes5val,posdef,count,lambda = TRUST(g(x),B3d);%TRUST是matlab门带的求解信赖域子问题的函数mil DAE对步长接收准则的讨论单调非单调初始点M=Of L TK/M = 10( NTF L 2 L ()r心=24, w = 32rig =15,=16(2. - 2)T心=13, uf =丨3nK = K w/ = XJ 3 635. 5 621 丿M =39. uf = 5()n, = 26. u( = 276 390. -(I 221 丿作=19. uf = 24一 =13.= 13 11 489. - 3 547) r作=18. tif = 23叫二 &弓=8
