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1、第九章 导热9-1导热理论基础1.导热的基本概念(1) 温度场(temperature field)在.时刻，物体内所有各点的温度分布称为该物体在该 时刻的温度场。一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直角坐标 系中，温度场可表示为t = f (x, y, zj非稳态温度场：温度随时间变化的温度场，其中的导热称稳态温度场：温度不随时间变化的温度场，其中的导热称为稳态导热。t = f（x，y, z）（办_0）dr一维温度场t = f(X, )t = f(X)二维温度场t = f (x, y,) t = f (x, y )三维温度场t = f (x, y, z 畀)t = f (x, y, z )（
2、2）等温面与等温线 在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或面称为等温 线或等温面。等温面与等温线的特征:315.6,50426,7537.8+CV1093 C648.9760.087LTC2Q4A 315.66.71093 C同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温 线不能相交；在连续介质的假设条件下，等 温面（或等温线）或者在物体中构成封闭的 曲面（或曲线），或者终止于物体的边界， 不可能在物体中中断。(3) 温度梯度(temperature gradient)在温度场中，温度沿x方向的变化温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量:gradt 二dtntn温度梯度是矢量，指向温度增加的方向
3、。n等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。在直角坐标系中，温度梯度可表示为dt . dt . dt - gradt 二i + j + kdxdydzdt dt dt、 、饭茅饭分别为X、y、z方向的偏导数；i、j、k分别为x、y、z方向的单位矢量。(4)热流密度(heat flux)d3A热流密度的大小和方向可以用热流 密度矢量q表示dq = n-dA热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为q 二 q i + q j + q kxyzq、q、q分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。x y z2.导热的基本定律傅里叶（Fourie于1822年提出了著名的
4、导热基本定律，即 傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度梯度之间的关 系。对于各向同性物体，傅里叶定律表达式为dt q =gradt = 一几 ntn傅里叶定律表明，导热热流密度的大小与温度梯度的绝对值 成正比，其方向与温度梯度的方向相反。标量形式的傅里叶定律表达式为dt对于各向同性材料，各方向上的热导率入相等，dt gradt i +dxkdz丿q q i + q j + q kzdt dt dtl + j +dx dydtq 九=xdxdt . dtj +dydzdt q 九 zdzdtq 九ydy由傅里叶定律可知，要计算导热热流量，需要知道材料的热导 率，还必须知道温度场。所以，求解温
5、度场是导热分析的主要 任务。傅里叶定律的适用条件:（1）傅里叶定律只适用于各向同 性物体。对于各向异性物体，热流密 度矢量的方向不仅与温度梯度有关，还 与热导率的方向性有关，因此热流密 度矢量与温度梯度不一定在同一条直 线上。nx（2）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和非稳态导 热问题，对于极低温（接近于0K ）的导热问题和极短时间产生 极大热流密度的瞬态导热过程，如大功率、短脉冲（脉冲宽度 可达10-1210-15S）激光瞬态加热等，傅里叶定律不再适用。3.热导率（导热系数）热导率表明物质导热能力的大小。根据傅里叶定律表达式_ q九-grad t绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。
6、表9-1几种典型材料在20 t时的热导率数值材料名称A/ :W/(nrK)j材料名称A/ W/(mK)金属（固休）：松木（平行木纹）0.35纯银427冰(0 t)2.22纯铜398液体*黄铜(70%CiT30%Zn)109水(0 t)0.551纯铝236水银（汞）7.90铝合金(87%Al,13%Si)162变压器油0.124纯铁81.1柴油0.128碳钢（约0.5%C）49.8润滑油0-146非金属（固体）：吒体：（大代压力石英晶体（）匸，平行轴）19.4空气0*025 7石英玻璃V）E13氮T0.025 6大理石2.70氧气0,177玻璃0.65-0.71水载气（0 ）0.183松木（垂直
7、木纹）0.15物质的热导率在数值上具有下述特点:(1) 对于同一种物质，固态的热导率值最大，气态的热导率值 最小；(2) 般金属的热导率大于非金属的热导率；导电性能好的金属，其导热性能也好；(4) 纯金属的热导率大于它的合金；(5) 对于各向异性物体，热导率的数值与方向有关；(6) 对于同一种物质，晶体的热导率要大于非定形态物体的热 导率。热导率数值的影响因素较多，主要取决于物质的种类、物质结 构与物理状态，此外温度、密度、湿度等因素对热导率也有较 大的影响。其中温度对热导率的影响尤为重要。温度对热导率的影响:一般地说，所有物质的热导率都 是温度的函数，不同物质的热导 率随温度的变化规律不同。
8、纯金属的热导率随温度的升高而 减小。一般合金和非金属的热导率随温 度的升高而增大。大多数液体（水和甘油除外）的 热导率随温度的升高而减小。多孔材料的热导率 绝大多数建筑材料和保温材料（或称绝热材料）都具有多孔 或纤维结构（如砖、混凝土、石棉、炉渣等），不是均匀介质， 统称多孔材料。多孔材料的热导率是指它的表观热导率，或称作折算热导率。保温材料（或称绝热材料）：用于保温或隔热的材料。国家标准规定，温度低于350C时热 导率小于0.12 W/（mK）的材料称为保温材料。多孔材料的热导率随温度的升高而增大。多孔材料的热导率与密度和湿度有关。一般情况下密度和湿 度愈大，热导率愈大。典型材料热导率的数值
9、范围纯金属50415 W/(mK)合金12120 W/ (mK)非金属固体140 W/(mK)液体(非金属)0.170.7 W /(mK)绝热材料0.030.12 W/ (mK)气体0.0070.17 W/ (m-K)4.导热问题的数学描述（数学模型）建立数学模型的目的：求解温度场t = f （X，y，Z，T ）导热数学模型的组成：导热微分方程式+单值性条件（1）导热微分方程式的导出 依据：能量守恒和傅里叶定律。 有内热源，强度为表示单位时间、单位体积内的生成热， 单位为W/m3。导热微分方程式pc 二（九 ）+（九 ）+（九 ）+taxaxdydydzdz导热微分方程式建立了导热过程中物体的
10、温度随时间和空间变化的函数关系。dtor当热导率入为常数时，导热微分方程式可简化为九a 二pc-热扩散率（导温系数）mi/s=九（d 2d 2d 2+ +dx 2dy 2dz 2）+/dt = aV 21 + _ drpc导热微分方程式的简化(1)物体无内热源:-=aV 21(2)稳态导热：=0OT一aV 21 + . = 0Pc(3)稳态导热、无内热源:=0，即d 2td 2td 2t7_+ _+ = 0&y212pc a t1 ad t)1 d- + -a t才11茨 r衍（衍丿 TT挪（挪丿矢（矢丿九r+九r 21r 2 sin2(2)单值性条件 导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程
11、的具体特点,适 用于无穷多个导热过程，也就是说有无穷多个解。为完整地描写某个具体的导热过程，必须说明导热过程的具 体特点，即给出导热微分方程的单值性条件(或称定解条 件)，使导热微分方程式具有唯一解。导热微分方程式与单值性条件一起构成具体导热过程完整的 数学描述。单值性条件一般包括：几何条件、物理条件、时间条件、边 界条件。1）几何条件说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决定温度场的 空间分布特点和分析时所采用的坐标系。2）物理条件说明导热物体的物理性质，例如物体有无内热源以及内热源 的分布规律，给出热物性参数（九、p、c、a等）的数值及其特 点等。3）时间条件说明导热过程时间上的特点，
12、是稳态导热还是非稳态导热。 对于非稳态导热，应该给出过程开始时物体内部的温度分布 规律（称为初始条件）：t= f （x, y, z）4) 边界条件说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作 用。例如，边界上的温度、热流密度分布以及边界与周围环境 之间的热量交换情况等。常见的边界条件分为以下三类:,x, y, z ）(a) 第一类边界条件给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律t 稳态导热：t = constw非稳态导热：t =f(T)w(b) 第二类边界条件给出边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律：电加热片加热物体表面q （二）-（；）二!wwon nan n九如果物体的某一表面
13、是绝热的，即q = 0，贝Iw物体内部的等温面或等温线与该绝热 表面垂直相交。rat、血丿w(c) 第三类边界条件给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度t及表面传 热系数h。f根据边界面的热平衡，由傅里叶定律和牛顿冷却公式可得:q = h (t t )第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变化率与边界处 对流换热之间的关系，也称为对流换热边界条件。对一个具体导热过程完整的数学描述(即导热数学模型)应 该包括：(1) 导热微分方程式；(2) 单值性条件。建立合理的数学模型，是求解导热问题的第一步，也是最 重要的一步。对数学模型进行求解，就可以得到物体的温度场，进而根 据傅里叶定律就可以确定相应的热流分布。目前应用最广泛的求解导热问题的方法有:(1)分析解法、 (2)数值解法、(3)实验方法。这也是求解所有传热学问题 的三种基本方法。本章主要介绍导热问题的分析解法和数值解法。9-2 稳态导热稳态导热是指温度场不随时间变化的导热过程.下面分别讨论日常生活和工程上常见的平壁、圆筒壁、球壁及肋壁的一维稳态导热问题。1.平壁的稳态导热当平壁的两表面分别维持均匀恒定的温度时，平壁的导热为一维稳态导热。(1)单层平壁的稳态导热假设：表面面积为A、厚度为九为常数、无内 热源，两侧表面分别维持均匀恒定的温度t、 t，且t t。wlw2wl w2蠢K麟.I-.
