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1、5 复数一、明确复习目标1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义.2.掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算3.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想二.建构知识网络1 虚数单位：i2=1,实数可以与它进行四则运算,原有的加、乘运算律仍成立;就是1的一个平方根,即方程x=-的一个根，方程x2=1的另一个根是-;具有周期性：4n+1=i, 4n-1, 4n+3=-i, 4n=1(nN)2 形如:=ab（,bR)的数叫复数（代数形式）， a叫实部，b叫虚部.复数(集C)的分类：QC3.复数相等：设a,b,c,dR，则a+bi=cdia=,b=d;a
2、bi=a=b0;利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法；复数的模：.两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小;5.共轭复数：实部相等,虚部互为相反数：abi和ai（a，bR)；的共轭复数用表示,特别地:6.复平面、实轴、虚轴:复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，虚轴上的点,除原点外,都表示纯虚数和向量一样,复数也可用有向线段表示,复数的加减法运算也可按平行四边形法则或三角形法则进行.7.掌握复数的和、差、积、商运算法则：z1z2=(a+i) (cdi)=()+(b)i； (a+bi）(di）=(ac-b)+(bd)i;(a+bi)(+di)= i（即分子分
3、母同乘以分母的共轭复数,再化简）.复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律.8.由复数相等的定义知：实系数一元二次方程ax2+bx+=0在当|z2|成立，试求实数a的取值范围.简答：1-4.CD; 5.i； 6.已知;7.;.|z1|z2|即（2）x21-2恒成立，得四、经典例题做一做【例1】设复数z=g(m-2m-2)+（m2+32),试求实数m取何值时，(1）是纯虚数;(2)z是实数；(）z对应的点位于复平面的第二象限解：(1）由(m2-2m）=，+3m+2,得m=3()由23+2=，得m=1或m2(3)由 l(2-2m-2）0，得1m1-或1+3点评:对复数的分类条件要注意其充要性，对
4、复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样【例2】(202X上海）在复数范围内解方程(i为虚数单位)解 原方程化简为, 设zxyi（x、),代入上述方程得x2+y2+i1-i， x2y21且2x=-1,解得x=-且y, 原方程的解是z=-.提炼方法：设z=x+yi(x、yR),利用复数相等的定义.【例3】设aR，z=y,(x,y),满足是纯虚数，求x,y应满足的条件解:设=i(kR,k）则z2a=ki(z+2)z2（1ki)=a2（1+ki)， (xy+2xy)（1i)=a2+2ki,消去参数k即得：x+y2=2,提炼方法： (）纯虚数的概念; (2)虚部的概念; (3)化复数问题为实数问题的化归
5、思想(设z=i(a,bR)；()若两个复数能比较大小，则它们都是实数 （5) 实轴,虚轴的概念【例4】(2X春上海) 已知复数满足为虚数单位)，,求一个以为根的实系数一元二次方程.解法一 ,. 若实系数一元二次方程有虚根,则必有共轭虚根. ， 所求的一个一元二次方程可以是.解法二 设 ， 得 ， 以下解法同解法一.【研讨.欣赏】设C，求满足z+R且|-2|=的复数z.分析：设z=+bi（a、R），代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程解法一：设z=abi，则z+bi+a+i+=a+(b)ib0或a22=当b0时，z=，|a-2|2 a或4a=0不合题意舍去,z=4当0时,a2
6、b2=1又|2|2，(a-2）+b2=4解得a,b=,z=综上,4或zi解法二：+R,z+= +(z-)0，(z-)=0z=或|z|=1，下同解法一点评：解法一设出复数的代数形式，把复数问题转化为实数问题来研究；解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化这些都是解决复数问题的常用方法五提炼总结以为师1.复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行;2.求解计算时，要充分利用i的性质计算问题;.在复数的求解过程中,要注意复数整体思想的把握和应用;4.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法.同步练习 5.5复数【选择题】1.（202X山东) ( ）A. B C. D.2.(02X广东
7、)若,其中a、，是虚数单位,则=0 B.2 C.5 ( )3.(02福建1)设则复数为实数的充要条件是( )AB C.D.4(20X浙江4).在复平面内,复数(1)对应的点位于 ( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D第四象限【填空题】5.（202X全国)复数的共轭复数是 _ (22湖南)复数z=ii+i3+i4+22X=_7.（20X广东) 若复数满足方程,则_ 8.(02X全国）.已知复数z0=3+i， 复数z满足z0=z0，则z= .若 ,，且为纯虚数，则实数的值为_ .10.若复数(aR,i为虚数单位位）是纯虚数，则实数的值为_ 练习简答:14.DB; 5.-i ； 6.0;
8、 7.; .; 9.; 106.【解答题】11.已知是复数，z+2i、均为实数(为虚数单位)，且复数(z+i）2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围解：设z=+yi(x、yR）,z+2=x(y+2)i,由题意得=2=(x-i)(2+)=(2+)+ （x-)由题意得x=4,z=4-2i(z+i)2（12+-a2）+(a-2）i，根据条件，已知解得26,实数的取值范围是(，6)已知复数当求a的取值范围，解：因故a的取值范围是13.已知，且复数的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模；解. 即14 设复数z=，问当为何实数时，z是实数， 虚数， 纯虚数， z在复平面上对应的点在实轴上方,|z|=解:当，即=a或时z为实数;当,即且时z为虚数；当0且，即x1时为纯虚数若0a，则x;若a,则xa或0x时z对应的点在实轴上方;当+=即x=1时,|z=1【探索题】设z是虚数，=+是实数，且-（1）求|z|的值及z的实部的取值范围;(2)设u=,求证:u为纯虚数；（3）求u的最小值解（1):设z=ab(a、bR，b0)，则=a+b+=（a)+（b)i是实数，b0,22=，即|=1=2a,10u2-3=1当a+1=,即时,上式取等号u2的最小值为
