《第六章 第二节 算术平均数与几何平均数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章 第二节 算术平均数与几何平均数（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章 第二节 算术平均数与几何平均数媒甘业题组一利用均值不等式求最值1. 设x、j均为正实数，且二+元卜=1，则xy的最小值为（）2 IX 2 IyA. 4B. 4必C. 9D. 16解析：由+ -3- = 1 可得 xy = 8+x + y.2 +x 2 +yVx , y均为正实数，.xy = 8 + x + yN8 + 2；xy（当且仅当x = y时等号成立）,即 xy - 2*xy - 8N0 ,可解得寸xyN4 ,即xy N16，故xy的最小值为16.答案：D2. （2009天津高考）设。0,如0.若招是3a与3b的等比中项，则则1+；的最小值为（）A.8B.41C. 1D.4解析：
2、.由是3a与3b的等比中项，.（g）2 = 3a. 3b.即 3 = 3a + b , Aa + b = 1.此W1 + 7 = a+b + a+b = 2 + （b + a）N2 + 2 = 4（当且仅当 a = b = 等号）. aba b a b2答案：B3. 已知不等式（x+y）（x+y）N9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为（）A.8B.6C.4D.2解析：（x + y）（+ a）= 1+a.x+y + axyyxNa + 1 + 2a.y-； = a + 2 a + 1 ,当且仅当a，二等号成立， y x所以（va）2+2胛+1巳9,即（寸a）2 + 2、.,；a -
3、80 ,得腴巳2 或-JaW - 4（舍）,所以aN4 ,即a的最小值为4.答案：C4.若直线axy+2=0（a0, b0）和函数f（x）=ax+i + 1（a0且a/1）的图象恒过同一个定点，则当1+b取最小值时，函数fx）的解析式是.a解析：函数 f（x）= ax+1 + 1 的图象恒过（-1，2）,古攵；a + b = 1，a + b = （|a + 幻 + p |+ b +法! +寥.当且仅当b =Wa时取等号将b=a代入% + b = 1得a = 22 - a2,故 fx） = （2&-2）x+1 + 1.答案：f（x） = （2-22）x+1 +1题组二利用均值不等式证明不等式5.
4、(2010-佛山模拟)已知aN0, bN0,且a+b=2,则()A. abW2B. ab，2C. a2+b2N2D. a2+b2W3a + b a + b解析：法一：由2 NJab得 abW( )2 - 1，又 a2 + b22ab=2(a2 + b2)N(a + b)2=a2 + b2N2.法二：（特值法）取a = 0 , b = 2满足a + b = 2，代入选项可排除B、D.又取a = b = 1满足a + b = 2但 ab = 1 ,可排除A.答案：C6.设a、b是正实数，以下不等式I 2ab2aba+a|ab|b a2+b24ab3b2ab+万2恒成立的序号为()A.B.C.D.解
5、析：,a、b是正实数，.a + b N2x/ab=1N电丝=.；ab3 ”.当且仅当a-b时 a+b a+b取等号，不恒成立;a + ba - bl=ala - bl - b恒成立；a2 + b2 - 4ab + 3b2-(a - 2b)2N0，当a - 2b时，取等号，.不恒成立；ab + -2b2 ab-b - 2、.总 aa2恒成立.答案：D27.已知关于x的不等式2x+N7在x(a,+)上恒成立，则实数a的最小值为+2a-xa22解析：因为 xa,所以 2x +二-2(x-a)+工 + 2aN2x - ax - a即2a + 4N7，所以aN|，即a的最小值为3., 3答案：28.已知
6、 a、 b、cER+且 a+b+c=1,求证：词我一1)*.证明:. a、b、cER + 且 a + b + c-1，abc；.(1-1)(1-1)(1-1)-(1-a)(1-b)(1-C) abc(b + c)(a + c)(a + b) 2无2.展2；福 _ qZ 8 abcabc1当且仅当a b c 3时取等号.题组三均值不等式的实际应用9. 某公司租地建仓库，每月土地占用费为与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货 物的运费j2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用 为和j2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车 站 千米处.解析：设
7、仓库建在离车站d千米处，由已知“-2-晶得k1-20 , .y1-20，20 4d=820+为=8%21。，得k2 = 5，：，y2 = d少+为二当且仅当若孕即d = 5时，费用之和最小.答案：510. (文)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方x米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计.(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2) 若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总 造价最低，
8、并求出最低总造价.解：(1)设污水处理池的宽为x米，则长为平米.xex、土/人2X1621 296X100 则总造价 f(x) = 400 X (2x +) + 248 X 2x + 80 X 162 = 1 296x + 12xx960100二1 296(x + 一 ) + 12 960xN1 296X2罕 + 12 960 二 38 880(元)，当且仅当x二畏(x0)，即x=10时取等号. x当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.0xW161(2)由限制条件知L 162，101x16.、0 了 W168设 g(x)= x + (10*WxW16)，由函数性
9、质易知g(x)在108，16上是增函数，.当x=10?时(此时冬二16)，8xg(x)有最小值，即fx)有最小值1 296 X （101 + 800） + 12 960 = 38 882（元）.当长为16米，宽为屹米时，总造价最低，为38 882元.（理）为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革.经调查测算，产品 k当年的产量X万件与投入技术改革费用m万兀（mN0）满足x=3m石（k为常数）.如 果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件.已知2010年生产该产品的固 定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.由于市场行情较好，厂 家生产的产品均能销售出去.厂家将
10、每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2010年该产品的利润j万元（利润=销售金额一生产成本一技术改革费用）表示 为技术改革费用m万元的函数；（2）该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（1）由题意可知，当m = 0时，x = 1（万件），：.1 = 3- k , :.k = 2，.x = 3-，m+18 + 16x每件产品的销售价格为1.5X(元)， X.2010年的利润8 + 16xj = x- 1.5 X - (8 + 16x) - mx=- + (m + 1) + 29(元)(mN0). m+1(2)，mN0，+ (m +1)巳2郁=8， m + 1.jW29 - 8 = 21，当 m+r=m+1,即 m=3，jma=21.该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大.
