1勾股定理及其逆定理复习典型例题1. 勾股定理： 直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方即： a2+ b2= c2 ）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长： a、 b、 c 有关系 a2+ b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关3. 如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（ 1）首先确定最大边（如：C，但 不要认为最大边一定是C）（ 2）验证 c2 与 a2 +b2 是否具有相等关系， 若 c2 =a2+b2 ，则△ ABC 是以∠ C 为直角的三角形若 c2> a2 +b2 则△ ABC 是以∠ C 为钝角的三角形， 若 c2< a2 + b2 则△ ABC是以∠ C 为锐角三角形）二、例题分析例 1、若直角三角形两直角边的比是 3： 4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积解：设此直角三角形两直角边分别是 3x， 4x，根据题意得：（ 3x） 2 +（ 4x） 2 =202化简得 x2=16 ；∴直角三角形的面积 = 1 ×3x×4x=6x2=962注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。
例 2、等边三角形的边长为2，求它的面积A解：如图，等边△ABC ，作 AD⊥BC 于 D则： BD= 1 BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）2BDC∵ AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）∴ BD=1在直角三角形 ABD 中 AB 2 =AD 2+BD 2，即： AD 2=AB 2 － BD 2 =4－ 1=3∴ AD= 3S1BC·AD=3△ABC=22注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为 3 a4例 3、直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积解：设此直角三角形两直角边分别是 x， y，根据题意得：x y512(1)x 2y 252( 2)由（ 1）得： x+y=7 ，（ x+ y） 2=49 ， x2 +2xy+y2=49(3)(3)－ (2)，得： xy=12∴直角三角形的面积是 1 xy= 1 ×12=6 （ cm2）2 2例 4、在锐角△ ABC 中，已知其两边 a=1， b=3 ，求第三边的变化范围分析 ：显然第三边 b－ a< c
AA'解：设第三边为c，并设△ ABC是直角三角形① 当第三边是斜边时， c2= b2 +a2，∴ c=1033② 当 第 三 边 不 是 斜 边 时 ， 则 斜 边 一 定 是 b ，222，∴ c=2 2 （即8B1 Cb= a+c）∵△ ABC 为锐角三角形所以点 A 应当绕着点B 旋转，使∠ ABC 成为锐角（如图） ，但当移动到点A 2 位置时∠ ACB成为直角故点A 应当在 A 1 和 A2 间移动，此时 2 2
解：连结 AC∵∠ B=90°， AB=3 ， BC=4∴AC2=AB2+BC 2 =25 （勾股定理）C∴ AC=5B∵AC2+CD2=169 ， AD 2 =169∴AC2+CD2=AD 2AD∴∠ ACD=90° （勾股定理逆定理）∴ S 四边形 ABCD =S△ ABC +S△ ACD =1 AB·BC+ 1 AC·CD=3622本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题例 7、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3n，求 分析：首先要确定斜边（最长的边）长 n+3，然后利用勾股定理列方程求解解：此直角三角形的斜边长为 n+3 ，由勾股定理可得：（ n+1） 2+ （ n+2） 2=（ n+3 ） 2化简得： n2=4∴ n=±2，但当 n=－ 2 时， n+1= － 1<0 ，∴ n=2三、练习题1、等腰三角形的两边长为 4 和 2，则底边上的高是 ________ ，面积是 _________ 2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为 ________ 3、一个直角三角形一条直角边为 16cm，它所对的角为 60 °，则斜边上的高为 _______ 。
4、四个三角形的边长分别是① 3， 4， 5 ② 4， 7， 8 1 ③ 7,24,25 ④ 3 1 ,4 1 ,5 1 其中是直角2 2 2 2三角形的是（ ）A 、①② B 、①③ C、①④ D、①②③5、如果线段 a、 b、 c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（ ）A、 1：2：4 B、！： 3： 5 C、 3： 4： 7 D、 5： 12： 136、已知：如图，四边形 ABCD 中， AB=20 ， BC=15 ， CD=7 ， AD=24 ，∠ B=90°，求证：∠ A+ ∠ C=180°DCA B47、已知直角三角形中，两边的长为 3、 4，求第三边长8、△ ABC 中，∠ C=90°， a=5， c－ b=1 ，求 b， c 的长9、如图：△ABC中， AD是角平分线，AD=BD， AB=2AC求证：△ACB是直角三角形AC D B三、练习题解答1、15 ，152、6， 8， 103、 8cm4、 DD5、 DC6、本题类似于例6，需连结 AC 证出△ ACD 也是直角三角形，从而∠ 1+∠ 2=90°，∠ 3+ ∠ 4=90°，∴∠ DAB+ ∠ DCB=180°BA57、解：设第三边长为x,① 当第三边是斜边时：x2=3 2 +42=25 ，即 x=5② 当第三边不是斜边时，则斜边长为4： x2 =42－ 32，即 x=78、此题类似于例 3解：根据题意得：a2c 2b2(cb)(c b)25 ∴ cb25 ∴ c13cb1cb1b129、证明：作 DE⊥ AB 于 E∵ AD=BD,DE ⊥ AB∴ 2AE=AB （等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合）∠ DEA=90°（垂直的定义）又∵ AB=2ACA∴ AE=AC∵ AD 是角平分线E∴∠ 1=∠2在△ ACD 和△ AED 中CDBAC AE1 2 AD AD∴△ ACD ≌△ AED （ SAS ）∴∠ C= ∠ AED=90 （全等三角形对应角相等）∴△ ACB 是直角三角形。