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1、极坐标与参数方程知识导航1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极
2、坐标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是
3、极坐标与直角坐标的互化公式如表:点直角坐标极坐标互化公式在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为的圆圆心为,半径为的圆圆心为,半径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲
4、线上任意一点的坐标都是某个变数的函数,并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问
5、题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。4椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角
6、和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为7直线的参数方程经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，0；当点在下方时，0；当点与重
7、合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。典型例题讲解及思维拓展题型一、参数方程转化为普通方程例：已知圆C的圆心是直线与轴的交点，且圆C与直线相切，则圆C的方程为 【变式】：1、已知椭圆E的中心是坐标原点，一个焦点是直线与轴的交点，一个顶点在直线上，则椭圆E的方程为 2.北京9直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为_。 3.在平面直角坐标系中，以坐标原点为几点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为参数）。（）设为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程；（）判断直线与圆的位置
8、关系。4. 在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为是参数） 和是参数），它们的交点坐标为_.5.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为 .题型二、极坐标与直角坐标的互化例： 在极坐标系中，由三条直线，围成图形的面积是_. 【变式】：1. 在极坐标系中，直线与圆相交于A、B两点，C为圆心，则三角形ABC的面积是_.2.（安徽13）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 3. 直线与圆相交的弦长为 4。设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，则直线的极坐标方程为 6极坐标方程分别为和的两
9、个圆的圆心距为 7已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，则直线与圆的位置关系为 .8.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 .题型三、参数方程与极坐标方程的应用例： 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_【变式】：1. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则曲线的中心（圆心）到直线的距离为_2. 已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系
10、，直线的参数方程.（）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（）设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的最小值.3在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值拔高强化1.（2013安徽高考理科7）在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）A. B.C. D.2.（2013江西高考理科15）设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标
11、系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_.3.（2013北京高考理科9）在极坐标系中，点(2，)到直线sin=2的距离等于 4. （2013湖南高考理科9）在平面直角坐标系中，若右顶点，则常数 .5.（2013广东高考理科14）已知曲线的参数方程为（t为参数），在点处的切线为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则的极坐标方程为_.6.（2013广东高考文科14）已知曲线的极坐标方程为以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为 7. （2013湖北高考理科16）在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(为参数,ab0),在极坐
12、标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为 (m为非零数)与=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为.8. （2013陕西高考理科15）如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为 .9. （2013湖南高考文科11）在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为_10. （2013重庆高考理科15）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于、两点，则 11.(2013天津高考理科T11)已知圆
13、的极坐标方程为=4cos,圆心为C,点P的极坐标为,则CP=.12. （2013陕西高考文科15） 圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标是 .课后作业(高考题初涉)1.（1）已知点c极坐标为，求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写出解题过程）； （2）P是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，M是PQ中点，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程。2.已知曲线的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是参数），点是曲线上的动点，点是直线上的动点，求|的最小值3.（2009学年海南省）已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由4.已知直线 （I）求直线l的参数方程； （II）设直线l与圆相交于M、N两点，求|PM|PN|的值。 5.（2013福建高考理科21）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点A在直线上。（）求的值及直线的直角坐标方程；（）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系.
