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1、第三章 向量与线性方程组补充习题答案1设有三维列向量 问取何值时，（1）可由线性表示，且表达式惟一；（2）可由线性表示，且表达式不惟一；（3）不能由线性表示【解】 设，得线性方程组，其系数行列式（1） 若，则方程组有惟一解，可由惟一地线性表示（2） 若，则方程组有无穷多个解，可由线性表示，但表达式不惟一（3） 若，则方程组的增广矩阵 可见方程组得系数矩阵A与增广矩阵不等秩，故方程组无解，从而不能由线性表示2设向量组，试问：当a,b,c满足什么条件时，（1）可由线性表出，且表示唯一？（2）不能由线性表出？（3）可由线性表出，但表示唯一？并求出一般表达式。【解】 设有一组数，使得 ，即 该方程组的
2、系数行列式（1）当时，行列式0，方程组有唯一解，可由线性表出，且表示唯一；（2）当a=4时，对增广矩阵作行初等变换，有 若3b-c1，则秩r(A)秩r(), 方程组无解，不能由线性表出；（3）当a=-4且3b-c=1时，秩r(A)=秩r()=23，方程组有无穷多组解，可由线性表出，但表示唯一。解方程组，得 ， ，（C为任意常数）。因此有 3设 （1）问当t为何值时，向量组线性无关？ （2）问当t为何值时，向量组线性相关？ （3）当线性相关时，将表示为和的线性组合.【解】 因为，故当时，向量组线性无关； 当t=5时，向量组线性相关。 当t=5时，令 ，得方程组 解得故 4设向量是齐次线性方程组A
3、x=0的一个基础解系，向量不是方程组Ax=0的解，即试证明：向量组线性无关【解】 设有一组数，使得， 上式两边同时左乘矩阵A,有因为，故 =0， 从而，由式得=0，由于向量组是基础解系，所以 因而，由式得k=0因此，向量组线性无关5 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是(A) (B) (C) (D) 【 】【解】 可见（A）、（B）中向量线性相关，（C）、（D）不能直接观察得出，对于（C），令即 ，由于线性无关，故因上述齐次线性方程组的系数行列式，故方程组有惟一零解，即，故（C）中向量组线性无关，应选（C）6设均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是(A) 若线性相关，则线性相关. (
4、B) 若线性相关，则线性无关. (C) 若线性无关，则线性相关. (D) 若线性无关，则线性无关. 【 】【解】 记，则.所以，若向量组线性相关，则，从而，向量组也线性相关，故应选().7.设4维向量组 ，问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 【解】记以为列向量的矩阵为，则 . 于是当时，线性相关. 当时，显然是一个极大线性无关组，且； 当时， ， 由于此时有三阶非零行列式，所以为极大线性无关组，且.8设齐次线性方程组 只有零解，则应满足的条件是 .【解】 当方程的个数与未知量的个数相同时，Ax=0只有零解的充分必要条件是 而 ，所
5、以应有9k为何值时，线性方程组，有惟一解、无解、有无穷多组解？在有解的情况下，求出其全部解【解】 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形当和4时，有 这时方程组有惟一解： 当k=1时，方程组无解当k=4时，有 ， ,故方程组有无穷多组解，这时，同解方程组为： 令，得方程组的全部解： ，其中c为任意常数10设线性方程组的系数矩阵为A，三阶矩阵，且试求的值【解】 令，则由题设，即又，所以3不全为零，说明齐次线性方程组Ax=0有非零解，所以必有秩(A)3，从而=0，即解得11. 设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是(A) 若仅有零解，则有唯一解 (B) 若有非零解，则有无穷
6、多个解 (C) 若有无穷多个解，则仅有零解 (D) 若有无穷多个解，则有非零解 【 】【解】由解的判定定理知，对，若有秩，则一定有解进一步，若r=n，则有唯一解；若rn，则有无穷多解而对一定有解，且设秩(A)=r，则若r=n， 仅有零解；若rn， 有非零解因此，若有无穷多解，则必有秩n，从而秩(A)=rn， 有非零解，所以(D)成立但反过来，若秩(A)=r=n(或n)，并不能推导出秩(A)=秩，所以可能无解，更谈不上有唯一解或无穷多解12非齐次线性方程组中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则(A) r=m时，方程组有解(B) r=n时，方程组有唯一解(C) m=n时，方程组有唯
7、一解(D) rn时，方程组有无穷多解 【 】【解】 有解的充要条件是：题设A为矩阵，若，相当于A的m个行向量现行无关，因此添加一个分量后得的m个行向量仍线性无关，即有，所以有解故（A）成立对于（B）、（C）、（D）均不能保证，即不能保证有解，更谈不上唯一解或无穷多解13设是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩r(A)=3，C表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=(A) . （B）.(C) . (D) 【解】 由题设，r(A)=3，可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个数为4-3=1，即其任一非零解均可作为基础解系。又根据解的性质知 为对应齐次线性方程组的解，即可作为基础解系，从而线性方程组AX=b的通解为 故正确选项为(C).
