上海交大版物理第五章答案

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1、习题55-1.如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解：受力分析如图，可建立方程：厂 2mg - T = 2ma _-2T - mg = ma- （T- T）r = JB -（T - T”r = JB .a = rB ， J = mr2/2-联立，解得：a = 1 g，T = * mg o485-2.如图所示，一均匀细杆长为，质量为m，平放在摩擦系数为卩的水平桌面 上，设

2、开始时杆以角速度绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作 用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。m解：（1）设杆的线密度为：九=，在杆上取 一小质元dm =X dx,有微元摩擦力： d f = U dmg = pA gd x， 微元摩擦力矩：dM =臥gxdx， 考虑对称性，有摩擦力矩：M = 2J 2 U九gxdx = pmgl ；Jt-Mdt =f0 Jdo ,0咤1717 l一一Umglt = -m 12，.：t = i。412 o3卩 go4（2）根据转动定律M = Jp = J穿，有：或利用：-Mt =血-化，考虑到= 0，J = ml 2,绳子的质量5-3.如图

3、所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联, 可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为 R，其转动惯量为MR2/2，试求该物体由静止开始下落的过程中, 下落速度与时间的关系。 解：受力分析如图，可建立方程：f mg T = ma -斗TR = J0Mmg、a = RB ， J = mR 2 -联立解得：a = ， T-，M 2mM 2m2mg tv =M + 2m考虑到a = dVJvdv = m-dt，有：dt 00 M 2m5-4.轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均 匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而 在绳的另一端B系了一质量

4、为M/4的重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量J = MR2/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬 时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？解一：分别对人、滑轮与重物列出动力学方程Mg T = Ma 人1A，M MT g = a 物 244 BTR T R = Ja 滑轮1 2由约束方程：a = a = Ra和J = MR2 /4，解上述方程组A B得到a = -2.解二：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重物上升的速度，注意到u为匀速,dt-0，系统对轴的角动量为:L = M v R M (u v) R + (R 2)e = M v R M u R442（B物体）

5、（人）（A物体）13而力矩为：m =4MgR + MgR =4MgR，a = fdL 3d 3根据角动量定理M =百 有：4MgR =(2MvR MuR),5-5.计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。3 m解：设球的半径为R，总重量为m，体密度p=4兀R 3考虑均质球体内一个微元：dm = p r2sin0drd0d申，由定义：考虑微元到轴的距离为r sin 0J = J (rsin0 )2dm，有:0 0 0c1=2兀 p r 55J = J2 JJ R (r sin 0 )2-p r 2 sin 0 drd 0 d 申2r x J 兀(1 cos2 0)d cos0 = mR

6、2。0055-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲 度系数k = 40N/m，当0 = 0时弹簧无形变，细棒的质量 m = 5.0kg，求在0 = 0的位置上细棒至少应具有多大的角速度 ，才能转动到水平位置？解：以图示下方的三角桩为轴，从0= 0 0 = 900时， 考虑机械能守恒，那么：0 = 0时的机械能为：m - 2 （重力势能3 ml几2（转动动能）0 = 90o时的机械能为：2kx2士lI)7、17有： mg + ( ml 2)w 2 = kx22 2 32根据几何关系：(X + 0.5)2 = 1.52 +12，得：w = 3.28rad s-i5-7.如图所

7、示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若 盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：(1) 盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；(2) 在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：(1)设虚线位置的C点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒，mgR = Jw 2，而 J = mR 2 + mR 2 =唾3R有:3 mR 22c.v = Rw = ，4Rgc316 Rg3VA = 2 R =7(2) F = m (重力+ mRw (向心力=-mg，方向向上。y35-8.如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕 水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别

8、为11和21 .轻杆原来 静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对 心碰撞，求碰撞后小球的反弹速度和轻杆所获得的角速度。2m解：设碰撞后小球的反弹速度为v，轻杆所获得的角速度为w。 根据角动量守恒，有：222llmv l = -m v l + m()2w + 2m ( )2w0 3333根据动能守恒，有：1 112、1c 丄、mv 2 = mv 2 + m(lw)2 +2m( lw)22 022323联立上述两个方程，可解得6 v1w =0, v = v515 05-9质量均匀分布的圆盘，质量为旳，半径为R , 与水平面之间的摩擦系数为卩），圆盘可绕通过其中 心O

9、的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止， 一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打 入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后， 盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止 转动。（圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为 2 MR 2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。）放在一粗糙水平面上（圆盘2mv得 3 =；得：(2 m + M) R(2)选微分dm rdrd 0 ,其中：面密度整解：（1）利用角动量守恒：mvRM 二Jpgrdm =JR卩gr Mfo22 nrdr = p M gR兀R 232 1.由M -At = J - Aw 有：一pMgR t = ( MR2 + mR2)3-

10、0， f322(M + 2 m )知：At =Rw4 p Mg2m n3 mv将3=(M + 2m)R 代入，即得：At 二。5-10有一质量为m长为1的均匀细棒，静止平放 在滑动摩擦系数为卩的水平桌面上，它可绕通过其端点 O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动 的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端 A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为V和v，如图所示。求碰撞后从细棒开 1 2 始转动到停止转动的过程所需的时间。（已知棒绕O点的转动惯量J = 1 m 12）3 1解：由碰撞时角动量守恒，考虑到V和V方向相反，以逆时针为正向，有:1 21 1 1,曰3m

11、 (v + v )mvl 二 ml 2 mvl，得：2_i2213 12 2m l1又细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得:m 1,dM = J 卩g xd x =卩m gl，利用M = J ，有:7宀 1f dt/ m1M = J 卩 1 g xd x =- f 0 l22l2m (v + v )t =s_2_3卩g 卩mg11 m 12 dJ tdt = J，得：0 卩m gl2 15-11.如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg - m2，半径为7cm ；物体的质量为5kg， 用一细绳与劲度系数k = 200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮 轴上的摩擦忽略不计。求：(1)

12、当绳拉直、弹簧无伸长时使 物体由静止而下落的最大距离；(2)物体的速度达最大值时 的位置及最大速率。解：(1)设弹簧的形变量为x，下落最大距离为x 。max由机械能守恒：-kx2 = mgx ，有：2 maxmaxx = 0.49m ；maxk111 r(2)当物体下落时，由机械能守恒：-kx2 + -mv2 + -J2 = mgx,厶厶厶v1 71 厂1 T考虑到 = ，有：一kx2 + mR 22 + J2 = mgx，R222d 小欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令=0，有：dx0 代入，有：x = mg = 0.245(m),k71/厂八 cd d kx + (mR 2 + J)

13、-2= mg，将 =2dxdx.当x = 0.245 m时物体速度达最大值，有：v = 1.31m / s。mgx kx 2v2 =厂，代入数值可算出：maxmax2(m + J)2r 25-12.设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速 度成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止 的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？ （3）电扇 以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？解：（1）已知Mf = _k，而动力矩M =號，d w通电时根据转动定律有：M + M = J P2kw = 牙 Q 厂 J；w =稳

14、定f dt代入两边积分有：Jotdt = Jowpkw严，可求得:，只有M，作用，那么:（2）见上式，当t T8时，电扇稳定转动时的转速:(3)断开电源时，电扇的转速为w二07 T dw , - dwd w , f k f 0 ,kw J，考虑到=w ，有：J d = J dw，dtdt dvo Jw得: kwo 二 k k。A厂VZZZ/Z/J5-13.如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为卩， 细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上,物体与转轮 的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以w o绕其转轴转 动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物 体A运动后，细绳的张力多大？ 解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体A和转轮B、 绳看成一个