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1、平面向量的数量积的物理背景及其含义教学设计教学目标1、知识与技能(1)掌握平面向量的数量积及其几何意义；(2)掌握平面向量数量积的重要性质；(3)了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；(4)掌握向量垂直的条件2、过程与方法(1).培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；(2).培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力3、情感、态度与价值观培养学生的交流意识、合作精神；重点：平面向量的数量积定义难点：平面向量数量积的定义和平面向量数量积的应教具：直尺教学过程一、复习引入：1向量共线定理 2平面向量基本定理： 3平面向量的坐标表 分别取与轴、轴方向相同的两个单位
2、向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作4平面向量的坐标运算若，则，若，则5 ()的充要条件是x1y2-x2y1=06. 力做的功：W = |F|s|cosq，q是F与s的夹角.二、讲解新课：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角.说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0q180C2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作ab，即有ab = |a|b|cos
3、q，（）.并规定0与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b
4、|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc 但a c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线. 3“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq 叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|.4向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.5两个向量的数量积的性质：设a、b
5、为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 ea = ae =|a|cosq 2 ab ab = 03 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|. 特别的aa = |a|2或4 cosq = 5 |ab| |a|b|三、讲解范例：例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角=120o，求ab.例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o 求 (a+2b)(a-3b).例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.00；0；0；若0，则对任一非零有；，则与
6、中至少有一个为0；对任意向量，都有（）（）；与是两个单位向量，则.解：上述8个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有0；对于：应有0；对于：由数量积定义有cos，这里是与的夹角，只有或时，才有；对于：若非零向量、垂直，有；对于：由可知可以都非零；对于：若与共线，记.则（）（）（），（）（）（）（）若与不共线，则()（）.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例5、已知，当，与的夹角是60时，分别求.解：当时，若与同向，则它们的夹角，cos036118；若与反向，则它们的夹角180，cos18036（-1）18；当时，它们的夹角90， ；当与的夹角是60
7、时，有cos60369评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180，因此，当时，有0或180两种可能.课堂练习：1已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）A60 B30 C135 D2已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|a-b|= 5已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么ab= 6已知ab、c与a、b的夹角均为60，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)_7已知|a|=1，|b|=，(1)若ab，求ab；(2)若a、b的夹角为，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角板 书 设 计平面向量的数量积的物理背景及其含义1两个非零向量夹角的概念 4向量的数量积的几何意义：2、平面向量的数量积定义3“投影”的概念 5、平面向量数量积的应用
