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1、1-4求符号函数(见图l-25a)和单位阶跃函数(见图l-25b)的频谱。sgn(t)-1a)符号函数图1-25题1-4图a)符号函数的频谱u(t)Jb)阶跃函数|+1 t0 x(t)二 sgn(t)二 -1 t 0t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取 极限得出符号函数x(t)的频谱。eatx (t)= e at sgn(t)= 00 t , t 0)的频谱密度函数为1 5X (f) = J x(t) e-jtdt =1
2、-8 1J e 一 ate - j tdt =01a + ja - ja 2 + 2a j ( )0a2 + ( )20a j ( + )a2 + ( + )20根据频移特性和叠加性得:X ()=( - ) - X ( + )=2 j10102 j1-7设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余 弦型振荡cos CD t CD )。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信 00m号，余弦振荡cos D t叫做载波。试求调幅信号f (t )cos D t的傅里0 0叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若d D时将0m会出现什么情况？0F ()二 F f (t)+ e - j0t)c
3、os t)= 0 2所以 x(t)二 2 f (t)ej0t + 2f (t)e-叫根据频移特性和叠加性得:1 1X(f)二 F(一)+ F(o+o )2o 2o0m可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各4-12若将高、低通网络直接串联（见图4-46）,问是否能组 成带通滤波器？请写出网络的传递函数，并分析其幅、相频 率特性。丄Riu (t)o图4-46 题4-12图解:T S1T T S2 + (T +T +T )S +11 2123T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2H ()=1-T T 2 + j(T +T +T ) +1 1 2123A(w)=T/ 、1 -T T
4、 32p (3)二 arctan(T +T +T )3123A(0)=0， p(0)=兀/2； A(s)=O，pS)=-兀/2，可以组成带通滤波器，如下图所示。y(t)1111 :I片I10t-1图5-24题5-3图Bode Diagram450-45100101102103104Frequency (rad/sec)5-3求方波和正弦波（见图5-24 ）的互相关函数。解法1:按方波分段积分直接计算。R (t ) = JTx(t)y(t +T )dt = JT x(t-T)y(t)dtxy T lOT oJ 4 (-l)sin(3t -3T)dt + J节 lfin(3t -3T)dt + J
5、； (-l)sin(3t -3T)dt044TlT=sin(3T)解法2：将方波y(t)展开成三角级数，其基波与x(t)同频相关，而三次以上谐波与x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。(llcos t cos3 t + cos5 t V35丿(T ) = J 4- (-l)sin(3t)dt + J 4 - lrjsin(wt)dt + JT (-l)sin(3t -3T)dt oT U3T t 0-T-T 4 J Tx(t)y(t +t)dt =丄 JTsin(t)| - |cos(t + t)dtT 0 T 0 、 /所以=J T jsin( t + t + t ) + sin( t t t ) dtJT sin(2t + t ) dt-JT sin(T 呀 Lo2oo T sin(t ) = sin(t ) 兀T兀解法3：直接按R ()定义式计算(参看下图)。xy2Tl=T=sin(3T)R (t ) =l J T x (t) y (t +T) dtxy T J参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数方波的自相关函数图
