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1、垂直平分线与角平分线典型题线段的垂直平分线与角平分线(1) 知识要点详解 1、线段垂直平分线的性质 垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且ADBD，若点C在直线m上，则ACBC. 定理的作用：证明两条线段相等 线段关于它的垂直平分线对称. 课堂笔记： 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 线段垂直平分线的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m与线段AB垂直相交于点D，且ADBD，若ACBC，则点C在直线m上. 定理的作用：证明一个点在某线
2、段的垂直平分线上. 课堂笔记： 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. Bj图3CmAD图1BCmAD图2BAiOCk定理的数学表示：如图3，若直线i,j,k分别是ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i,j,k相交于一点O，且OAOBOC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. 三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分
3、线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题： 例1 如图1，在ABC中，BC8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，BCE的周长等于18cm，则AC的长等于 A6cm B8cm C10cm D12cm 1 针对性练习： 已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点 E，A 如果EBC的周长是24cm，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分
4、线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么EBC的周长是 D 3） 如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果A=28 度，那么EBCE 是 B C 例2. 已知： AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。 课堂笔记： 针对性练习： B D C N A A E 已知：在ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC,求证：点O在BC的垂直平分线. O B 例3. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50，ABC的底角B的大小为_。 C 课堂笔记： 针对性练习： 1. 在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与
5、AC所在直线相交所得的锐角为40，则底角B的大小为_。 A 例4、如图8，已知AD是ABC的BC边上的高，且C2B， 求证：BDACCD. 证明：在BD上取一点E，使DEDC，连接AE， 课堂笔记： C B图8DC 2 课堂练习： 1.如图，AC=AD，BC=BD，则 A.CD垂直平分AD B.AB垂直平分CD C.CD平分ACB D.以上结论均不对 2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部， 那么，这个三角形是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.下列命题中正确的命题有 线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经
6、过线段中点的直线只有一条；点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么DBC的周长是 A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 5.已知如图，在ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC，求证：AOBC. 6.如图，在ABC中，AB=AC，A=120，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM. 课后作业： 1. 如图7，在ABC中，AC23，AB的垂直平
7、分线交AB于点D，交BC于点E，ACE的周长为50，求BC边的长. B图7 2. 已知：如图所示，ACB，ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP。 DAEC 3 线段的垂直平分线与角平分线 知识要点详解 4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，已知OE是AOB的平分线，F是OE上一点，若CFOA于点C，DFOB于点D，则CFDF. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 课堂笔记： 5、角平分线性质定理的逆定理： 角平分线性质定理的
8、逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，已知点P在AOB的内部，且PCOA于C，PDOB于D，若PCPD，则点P在AOB的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 课堂笔记： 6、关于三角形三条角平分线的定理： 关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是ABC的内角BAC、ABC、ACB的平分线，那么： AP、BQ、CR相交于一点I； BDEFO图4CADPO图
9、5BCAARFIQEB图6PDC 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DIEIFI. 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题. 三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： 会作已知线段的垂直平分线； 会作已知角的角平分线； 会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 课堂笔记： 经典例题： 4 例1已知：如图，点B、C在A的两边上，且AB=AC，P为A内一点，PB=PC， PEAB，PFAC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PF
10、课堂笔记： 针对性练习： 已知： PA、PC分别是ABC外角MAC和NCA平分线，它们交于P，PDBM于D，PFBN于F，求证：BP为MBN的平分线。 例2、如图10，已知在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分ADC，求证：AE平分BAD. 课堂笔记： 针对性练习： 如图所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F，求证：DE=DF。 例3、如图11-1，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分ABC，且BAD与BCD互补， 求证：ADCD. E B D A C F ACEBPFDFCEA图10B 5 课堂练习： 1. ABC中，AB=AC，
11、AC的中垂线交AB于E，EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为_。 2. 如图所示，AB/CD，O为A、C的平分线的交点，OEAC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于_。 A B O E C D DC已知：如图，B=C=90，DM平分ADC， AM平分DAB 。求证： M B=MC 课后作业： 1.如右图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD. 求证：AD平分BAC. A0EMB2. 如图所示，直线l，l2，l3表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路1的距离相等，则可供选择的地址有 A. 一处 B. 二处 C. 三处 D. 四处 l3 l1 l2 6
