2017年数学中考专题--6-线段最值问题

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1、几何中的最值问题几何中最值问题包括:“面积最值”及“线段(和、差)最值”. 求面积的最值,需要将面积表达成函数,借助函数性质结合取值范围求解; 求线段及线段和、差的最值,需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.常用定理:1、两点之间,线段最短(已知两个定点时)2、垂线段最短(已知一个定点、一条定直线时)3、三角形三边关系(已知两边长固定或其和、差固定时) PA+PB最小,需转化,使点在线异侧 |PA-PB|最大,需转化,使点在线同侧4、 圆外一点P与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点,离P最近的点即为P到圆的最近距离,离P最远的点即为P到圆的最远距离

2、类型一 线段和最小值1. 如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图2. 如图,点P是AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,若AOB=45,OP=3,则PMN周长的最小值为 . 3. 如图,正方形ABCD的边长是4,DAC的平分线交DC于点E,若点P,Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为 .4. 如图,在菱形ABCD中,AB=2,A=120,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一

3、点,则PK+QK的最小值为 .5. 如图,当四边形PABN的周长最小时,a = 6. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点. 若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,则点F的坐标为 . 第5题图 第6题图 第7题图变式加深:7、如图,正方形ABCD边长为2,当点A在x轴上运动时,点D随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为()A. B. C. D. 第8题图 第9题图 第10题图8、如图,MON=90,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B

4、在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为 9、如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG与点H。若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 10、如图,点P在第一象限,ABP是边长为2的等边三角形,当点A在x轴的正半轴上运动时,点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中,点P到原点的最大距离是_.若将ABP中边PA的长度改为,另两边长度不变,则点P到原点的最大距离变为_类型二 线段差最大值1、如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8

5、,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动,则的最大值等于 第1题图 第2题图 第3题图 2、点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如图所 示若P是x轴上使得的值最大的点,Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点,则 3、如图所示,已知A(1/2,y1),B(2,y2)为反比例函数y=1/x图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是 4、如下图,一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=m/x(m 0)的图象交于A,B两点,其中点A的坐标为(-6,2)(1)求m,k的值;(2)点P为y轴上的一个动点

6、,当点P在什么位置时|PA-PB|的值最大?并求出最大值.核心:画曲为直5、已知如图,圆锥的底面圆的半径为1,母线长OA为2,C为母线OB的中点在圆锥的侧面上,一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为 6、如图,圆柱底面半径为,高为,点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上,用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B,求棉线最短为 。7、在锐角三角形ABC中,BC=,ABC=45,BD平分ABC,M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是 OCBA 第5题图 第6题图 第7题图 类型三 线段最值1、已知O是以原点为圆心,为半径的圆,点P是直线上的一点,过点P作O的一条切线PQ

7、,Q为切点,则切线长PQ的最小值为_ 2、在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx-3k+4与圆O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为_.第3题图 第4题图 第5题图3、如图,在ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PEAB于E,PFAC于F,M为EF中点,则AM的最小值为_4、如图,已知AB=10,P是线段AB上任意一点,在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边APC和等边BPD,则CD长度的最小值为 5、如图,在ABC中,BAC=120,AB=AC=4,M、N两点分别是边AB、AC上的动点,将AMN沿MN翻折,A点的对应点为A,连

8、接BA,则BA的最小值是_第6题图 第7题图 第8题图 第9题图6、如图,一副三角板拼在一起,O为AD的中点,AB=a将ABO沿BO对折于ABO,点M为BC上一动点,则AM的最小值为 7、如图,在RtACB中,ACB=90,AC=6,BC=8,P、Q两点分别是边AC、BC上的动点,将PCQ沿PQ翻折,C点的对应点为,连接A,则A的最小值是_8、如图,在ABC中,ACB=90,AC=4,BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点的最大距离是 .9、如图,ABC是以AB为斜边的直角三角形,AC=4,BC=3,P为边AB上一动点,且PE

9、AC于点E,PFBC于点F,则线段EF长度的最小值是_10、如图,正方形ABCD边长为2,当点A在x轴上运动时,点D随之在y轴上运动,在运动过程中,点B到原点O的最大距离为_第10题图 第11题图 第11题备用图11、如图,直角梯形纸片ABCD,ADAB,AB=8,AD=CD=4,点E、F分别在线段AB、AD上,将AEF沿EF翻折,点A的落点记为P(1)当P落在线段CD上时,PD的取值范围为 ;(2)当P落在直角梯形ABCD内部时,PD的最小值等于 . 类型四 圆外点和圆的最值1、动手操作:在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A处,折痕为PQ,当点A

10、在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A在BC边上可移动的最大距离为 第1题图 第2题图2、如图,菱形ABCD中,A=60,AB=4,A、B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、A和B上的动点,则PE+PF的最小值是 3、在平面直角坐标系中,对于任意两点与的“非常距离”,给出如下定义:若,则点与点的“非常距离”为;若,则点与点的“非常距离”为例如:点,点,因为,所以点与点的“非常距离”为,也就是图1中线段与线段长度的较大值(点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点)1)已知点,为轴上的一个动点,若点与点的“非常距离”为2,写出一个满足条件

11、的点的坐标;直接写出点与点的“非常距离”的最小值;(2)已知是直线上的一个动点,如图2,点的坐标是(0,1),求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标;如图3,是以原点为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点和点的坐标4、在平面直角坐标系中,已知抛物线(为常数)的顶点为,等腰直角三角形的定点的坐标为,的坐标为,直角顶点在第四象限.(1)如图,若该抛物线过 ,两点,求该抛物线的函数表达式;(2)平移(1)中的抛物线,使顶点在直线上滑动,且与交于另一点.i)若点在直线下方,且为平移前(1)中的抛物线上的点,当以三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时,求出所有符合条件的点的坐标;ii)取的中点,连接.试探究是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由.

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