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1、第十三讲 循环小朋友们，你留意过循环问题吗？在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现的现象。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断重复出现的。在数学中，也常会碰到一些重复出现的问题。在研究这些问题时，我们不仅要判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，而更重要的是看它的余数。如1999年元旦是星期五，2000年元旦是星期几？因为1999年是平年，有365天，3657=521，所以2000年的元旦是星期六。这就是根据365除以7所得的余数来判定的。那么，就让我们一起来看看怎么来解决这一类的问题。典型例题例1 流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红，
2、再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白像这样继续下去，到第2003个小球该涂什么颜色？分析 小木球涂色的次序是：“5红，4黄，3绿，2黑，1白”，也就是每涂过“5红，4黄，3绿，2黑，1白”循环一次，给小木球涂色的周期是5+4+3+2+1=15。所以只要用2003除以15，根据余数就可以判断球的颜色。解 200315=1338这就是说，第1999个小木球出现在上面所列一个周期中的第8个，所以第2003个小球涂的是黄色。例2 有一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，（1） 第81个数是多少？（2） 这81个数相加的和是多少？分析 （1） 从排列
3、可以看出这组数是按7，0，2，5，3依次重复排列的，那么一个循环周期就有5个数。（2） 之和是7+0+2+5+3=17。用每个循环各数之和可以循环次数再加上余下的各数，即可得到答案。解（1）815=161按照循环次序可知：第81个数为7。（2）1716+7=279 所以这81个数相加的和为279例3 假设所有自然数排列起来如下图所示，55应排在哪个字母下面？248应排在哪个字母下面？A B C D1 2 3 45 6 7 89 10 11 12. . . . . . . . . .分析 从排列情况可知，这些自然数按从小到大4个数一个循环排列。要求这些数字排在哪个字母的下面，我们可以根据这些数除
4、以4的余数来判断。解 554=133所以55排在第3个字母C的下面。2484=62所以248排在第4个字母D的下面。例4 如下图，8个队员围成一圈做传球游戏，从1号开始，按照箭头方向向下一个人传球。在传球的同时按自然数数列报数。当报到96时，球在几号队员手上？分析 把8个队员看成一组，解法与例3相同。解 968=12所以报96时，球应在8号队员手上。例5 2003个学生按下列方法编号排成5列：一 二 三 四 五1 2 3 4 59 8 7 6 10 11 12 1317 16 15 14 问：最后一位学生应站在第几列？分析 观察这些学生排列的情况可以看出，除15外，从第2排起都是按8个数一个循环依次不断重复出现。因此，除以8余数为1、2、3、4、5、6、7、0对应的列数应分别为四、三、二、一、二、三、四、五。解 （20035）8=2496因此，第2003个学生站在第3列。小结 解决循环问题时，应把注重点放在以下几个方面：一、 数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。二、 每几个数循环一次，周期长度是多少。三、 每个循环节是按什么次序排列的。解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应。比如余数为3，就找循环节里面的第3个状态。
