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1、高考导数应用大盘点高考对导数部分的要求一般有三个层次：第一个层次是导数的概念，求导的公式和求导的法则；第二个层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三个层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性的内容等有机地结合在一起，设计综合试题 本文精选高考中的相关试题，进行分类导析，供老师、同学们复习参考1考查导函数的图象及其性质例1（江西卷）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（）分析与解：由图1得，从而导出是函数的极值点是解本题的关键由是函数的极值点，又在上，；在上， ，因此在上，单调递
2、减，故选（C）点评：要注意，若是函数的极值点，则有，但若，则不一定是函数的极值点要判断一个点是否为极值点，还要检验点两侧的单调性是否不同2与函数交汇，考查导数的概念和计算例2（全国卷）已知 ，函数（1）当为何值时，取得最小值？证明你的结论； （2）设在上是单调函数，求的取值范围分析与解：（1）对函数求导数，得令，得解得，其中当变化时，的值变化如下表极大值极小值在处取得极大值，在处取得极小值，在上为减函数，在上为增函数而当时，；当时，所以当时，取得最小值（2）当时，在上为单调函数的充要条件是，即，解得于是在上为单调函数的充要条件是，即的取值范围是3与解析几何交汇，考查导数的几何意义切线的斜率例3
3、（福建卷）如图2，是抛物线上一点，直线过点并与抛物线在点的切线垂直，与抛物线相交于另一点（1）当点的横坐标为2时，求直线的方程；（2）当点在抛物线上移动时，求线段中点的轨迹方程，并求点到轴的最短距离分析与解：用导数求出直线的斜率，再用求轨迹的基本方法展开，注意直线、曲线的弦中点问题“设而不求法”及求最值时的“重要不等式”的灵活使用（1）把代入，得点坐标为由，得，过点的切线的斜率，直线的斜率直线的方程为，即（2）设，则过点的切线斜率，当时不合题意， 直线的斜率，直线的方程为设，则由，将上式代入并整理，得就是所求的轨迹方程由知，仅当，即时取等号，所以点到轴的最短距离是4与函数、不等式交汇，考查导数
4、的运算和性质例4（天津卷）已知函数是上的奇函数，当时，取得极值（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意，不等式恒成立分析与解：从函数的性质及导数与函数极值的关系着手（1）由题意，得由，在处取得极值，必有，故由，得联立，得，因此求出后，经判断知在和上是增函数，在上是减函数其极大值为（2）由（1）知，在上是减函数，且在上的最大值，最小值，所以，对任意，恒有5与实际问题结合，考查导数的物理意义瞬时速度例5（湖北卷）某日中午12时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是_分析与解：以点为原点，正东、正北方向所在的直线分别为轴
5、，轴建立如图3所示的直角坐标系，时刻甲位于处，乙位于处，则两地间距离，又12时30分时，则点评：此题不仅考查了方位角的概念、画图、识图的能力及列方程解应用题的思想，更重要的是考查了学生对导数的物理意义及导数定义的理解，特别是不同的方向设计，使得变化率是一个负值这要求考生能将物理知识与数学知识相结合（意在考查学科交叉能力），要求考生能熟练运用复合函数的求导法则友情提醒：若对的关系式化简展开后求导数，则运算较繁；由于不能真正理解距离对时间的导数是瞬时速度，而速度是一个向量，许多考生在求出对应的变化率是一个负值后，给出答案时竟然特意将其中的负号舍去，以致痛失4分，实为可惜！6与实际问题结合，考查导数
6、的运算和性质例6（全国卷）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?分析与解：设容器的高为，容器的体积为，则，由，解得，（舍去）当时，当时，所以，当时，有极大值又，所以当时，有最大值【方略扫描】1应用复合函数的求导法则时，首先要分析所给函数是由哪些函数复合而成，或者说，所给函数能分解成哪些函数，直至能用求导法则为止2函数在某点处的切线的斜率 3利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导，如果，则在这个区间上为增函数；如果，则在这个区间上为减函数应当
7、注意，在区间内是在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件；也只是在区间上为减函数的充分条件，而不是必要条件4利用导数求函数极值的步骤：求；求方程的根；分析在方程根左、右两侧的值的符号；如左正右负，则在这个根处取得极大值；如左负右正，则在这个根处取得极小值；如果同正同负，那么在这个根处无极值5利用导数求最值的步骤：求在内的极值；将的各极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值注：函数的极值是局部概念，函数的最值是整体概念，即在定义域内最大或最小所以用求导数的方法求函数的最值（极值），非常方便 但要注意所对应的的值，不一定就是所求的最值点，要注意与端点的值进行比较全 品中考网第 1 页 共 6 页
