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1、课题：3.1.2用二分法求方程的近似解一、 教学目标：（1）知识目标：掌握二分法求方程近似解的一般步骤，能借助计算机或计算器求方程的近似解；理解二分法“取中”思想，进一步理解函数与方程的关系。（2）能力目标：培养学生利用现代信息技术和计算工具的处理数据能力；培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及辩证思维的能力。（3）情感目标：鼓励学生大胆探索，激发学生学习数学的兴趣，培养学生探寻和欣赏数学美，形成正确的数学观。 二、 教学重点、难点重点：能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.难点：恰当地使用信息技术工具，利用
2、二分法求给定精确度的方程的近似解，理解逼近思想.三、 教学方法利用多媒体辅助教学手段，通过例题引导学生自主探究二分法的原理与步骤，以师生互动为主的教学方法四 教具准备多媒体课件、三角尺. 五 教学过程（一）复习旧知，提出问题方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点零点存在性定理：如果函数在区间上图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也是方程的根。问题1：运用前面的知识，你能判定下面的方程的根存在吗？如果存在你能求出来吗？(1) x2-2x-1=0 (2) 2x=4-x (3) x3+3x-1=0（二）史料学习，引出课题高次多项式方程公式解的探索史料由于
3、实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）在十六世纪，已找到了三次和四次一元方程的求根公式，但对于高于4次的一元方程，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题（三）问题情境，引入课题幸
4、运52曾经现场直播，进行一个猜价格游戏：正确格价是（1，100）的某一个整数，要求最多7次猜中算成功，否则算失败。通过操作键盘让同学们去猜这个数，对于大家每次猜测的结果，计算机的提示是“对了”或“大了”或“小了”（用多媒体配合演示）学生讨论后，提问：（1）任给一个1100的整数，我都可以在7次以内猜出，你们能做到吗？（2）为什么采用正确的方法，7次以内一定可以猜中？（第一次猜50，若“大了”，则猜1与50中间的整数25，依次类推，由于每猜一次，就排除一半，范围不断缩小，7次以内一定可以猜中）（3）这种猜测的思想是什么？设计意图：上述游戏，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分
5、为二，如此下去，使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字，这种思想就是二分法通过做游戏，来提高学生的学习热情，让他们在玩的过程中初步体会二分法的思想和作用，并进行有意义学习（四）新课探究 形成新知学生活动问题1.能否求解以下几个方程 (1) x2-2x-1=0 (2) 2x=4-x (3) x3+3x-1=0指出：用配方法和公式法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程问题2不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）? xy1203y=x2-2x-1画出函数=x2-2x-1的图象，如图可得：方程x2-2x-1=0 一个根x1在区间(2,3)内，另
6、一个根x2在区间(-1,0)内由此可知：借助函数f(x)= x2-2x-1的图象， 我们发现f(2)= -10，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？ 所在区间（a,b）中点的值中点的函数近似值区间长度（2，3）2.50.251（2，2.5）2.250.43750.5（2.25，2.5）2.3750.109380.25（2.375，2.5）2.43750.066410.125（2.375，2.4375）0.0621由于，所以问题3：在刚才探索中，我们是怎么操作的？你能发现什么吗？生小议后作答？师总结：（1）在
7、操作过程中，每一次都把上次得到的区间一分为二.（2）每一次的区间的长度都是前一次区间的一半，且越来越小.区间的端点离零点越来越近.我们把这种方法称为二分法.我们可以用这种方法来求函数的零点的值或者近似值。函数零点求出以后，对应方程的解就随之而出. 譬如求方程x22x10的正的近似解（精确到0.1）就可以转化为求函数f(x)=x2-2x-1（生答）的零点的近似值.根据我们刚才的探究你认为它的近似解是多少呢？师生共同分析并得到：若区间的长度小于精确度即，则即为所求近似值.回顾刚才的过程实际就是：对半分区，左右判定.二分法的定义：对于在区间a,b上连续不断，且的函数y=f (x)，通过不断地把函数f
8、(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法问题4：二分法的实质是什么？用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近思想逐步缩小零点所在的区间（五）课堂练习 巩固新知y=4-x练习一：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解 （精确到0.y404y=2x1x1）怎样找到它的解所在的区间呢？在同一坐标系内画函数y=2x 与y=4-x的图象，如图：得:方程有一个解解：设函数f(x)=2x +x-4，且f(0)=-30,方程有一个解下面用二分法来求解方程的近似值，列表如下：所在区间中点的值中点函数近似值区间长度（
9、0，4）224（0，2）112（1，2）1.50.331（1，1.5）1.250.370.5（1.25，1.5）1.3750.0310.25（1.375，1.5）1.43750.1460.125（1.375，1.4375）0.06251.43751.3750.06250.1，老师巡视.学生合作计算.一名同学负责作记录，另一名负责用计算器求值，教师巡视。展示学生结果。问题5：能否给出设定了精确度，用二分法求解方程f(x)=0(或g(x)=h(x)近似解的基本步骤？（归纳总结）1.求方程的根转化成求函数的零点；2.确定零点所在的一个区间；（在此强调寻找区间的方法：用验证，图象寻找）3.取中求区间，
10、的中点；4计算： 若，则就是函数零点。若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）；5判断是否达到给定的精确度即，若达到，则得出近似解（或)；若未达到，则重复步骤35。简记： （一转，二定，三中，四算，五判断）练习二：下列函数图像与x轴均有交点,其中不宜用二分法求图中交点横坐标的是( )设计意图：使学生明确初始区间并非任意选取，必须满足，加深学生对利用二分法求方程近似解原理的理解答案：c练习三：用二分法求方程内近似解的过程中取区间中点，那么下一个有根区间为 ( )A（1，2） B（2，3） C（1，2）或（2，3）都可以 D不能确定设计意图：使学生明确利用二分法求方程近似解取新区间方法，一个端点
11、是原区间的中点，另一个是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号答案：A（六）新知拓展，生活运用从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接点？1234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314
12、151234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314151234567891011121314（七）课堂小结（1）二分法的基本思想是 取中，逼近 ；（2）初始区间的选定的方法有 运用零点存在定理，图象 ；（3）利用二分法求方程的近似解的具本步骤是：一转，二定，三中，四算，五判断（4）“取中”思想不只是在算法中运用，而且我们在我们学过的如：中点，中线，中位线，以及平分思维，后面要学到中截面，均值不等式都有体现，“取中”思想正是中国传统“中庸
13、”思想的体现（八）作业布置 应用新知1.下表是用计算器或计算机作出函数的图象和对应值，则从下表可以看出方程的一个正的近似解是 （精确到001）次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第1次200000-130685300000109861第2次250000-008371300000109861第3次250000-008371275000051160第4次250000-008371262500021508第5次250000-008371256250006598第6次253125-000879256250006598第7次253125-000879254688002862第8次253125-000879253906000992设计意图：使学生进一步巩固利用二分法求方程近似解的具体步骤，提高学生阅读理解能力
