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1、名师整理精华知识点基本初等函数中学阶段(初高中)我们只要求掌握基本初等函数及其复合函数即可。什么是基本初等函数？就是那些：幕函数(一次二次负一次)、指数、对数、三角等。力求在这些具体函数中，运用函数的性质(奇偶性、周期、单调等的性质)，掌握某些函数的特殊技巧。一、一次函数初中的一个函数，Primary基本、简单而又很重要。解析式：y=kx+b或y=ax+b，通常我们会这样设。那么高中我们在什么地方会用到它呢？解析几何中我们会设直线；线性规划会有好多跟直线；也容易在函数里面作为条件表达一下画出以下解析式的图像：要求快(1) y=x+1; (2)y=x_1 (3)y=_x+1 (4)y=_x_1
2、(5)x=1(6)y=1 (7)y=2x根据以下条件，设出一次函数的解析式：(1) 直线经过(1,2)点(2) 直线的斜率是2总结：两个参数主宰斜率和与 y轴的交点位置。因为两个参数，所以要有两个条件才能解得 解析式。二、二次函数二次函数的大部分内容在另外一个讲义里面已经讲述了，这里补遗强调一下。十分重要的内容，属于幕函数中最重要的一类。二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点， 题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用，幕函数的内容要求较低，只要求会简单幕函数的图象与 性质.1、二次函数的三种表示形式(1) 一般式：y = ax
3、2 + bx + c, (a丰0);(2) 顶点式：y = a(x h)2 + k(顶点坐标为(h, k);双根式：y = a(x x1)(x x2)(图象与x轴的交点为(x1,0) , (x2,0)求一元二次解析式：将题目有的条件表示一下，没有难度，过场的题目而已Eg:已知二次函数 f(x)同时满足条件：(1)f(1 + x) = f(1 x);f(x)的最大值为15; (3)f(x)= 0的两根平方和等于7求f(x)的解析式.Ans： f(1 + x) = f(1 x)知二次函数对称轴为x = 1.2 2已知最大值和对称轴，用顶点式，设 f(x) = a(x 1) + 15= ax 2ax
4、 + 15+ a.222/ X1 + X2 = 7 即(X1 + X2) 2X1X2= 7.4_2(15 + a)=a7，a= 6.2、二次函数在特定区间上的最值问题EX :函数y=x2+4x+3在-1,0上的最大值是 ,最小值是 .解析:y=x2+4x+3=(x+2) 2-1,对称轴x=-2,在-1,0的左侧,所以在-1,0上单调递增故当x=0 时,f(x)取最大值f(0)=3;当x=-1时,f(x)取最小值f(-1)=0. 答案:30进阶Eg:(建议一做)：已知函数f(x)=-x 2+2mx+1-m 在0 x 1时有最大值2,求m的值(1)若(x b=0)(2)若(0xb=1) key:m
5、=-1 or m=22a2a2a解析：每种情况分别画出草图。原草图作法：求根得到与x轴的交点，c与y轴的交点，a看开口，估计着画。但是这里m为参数解不出根，c也未知。题目的条件是固定区间的最值， 我们只要知道定义域内的增减性(单调性)即可，由于已经知道开口向下，所以只要分类讨论对称轴的位置即可。123问分别是分类讨论的三种情况进阶Ex :已知f(x)=x 2+3x-5,x t,t+1,若f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式.解析：所求二次函数解析式(所以图像也)固定，区间变动，可考虑区间在变动过程中，二次函数的单调性，从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.解如图所示；函数图
6、象的对称轴为x=-3,23522(5(1 当t +1W ，即tw 时,h(t )=f (t+1 )=(t+1 ) +3(t+1)5，即h(t )=t2+5t1.tw 2 2当心I ：t 1,即却心I时，329I I =.243、方法技巧：待定系数法，恒成立问题之分离变量Eg/Ex:已知二次函数 f(x)满足 f(x + 1) f(x) = 2x，且 f(0) = 1.(1)求f(x)的解析式；在区间1,1上，函数f(x)的图象恒在直线y = 2x + m的上方，求实数 m的取值范围.【解析】1设函数f x = ax2+ bx+1(a =0),t f(x+1)-f(x)=2x带入假设的解析式则
7、a(x+1)2 + b(x+1)+1 = ax2+ bx+1 + 2x,(2a 亠b 二b 亠 2fa 二 1-整理得2a b b 2,解得a 1所以f x = x2 x+1.|a+b 勺=1b=1人,2 当T,1时，由x2 x+1 2x+ m,得x23x m-1 当x=1 时,(x23x)min = 2, 所以m-1 f(x)在R上恒成立(1 )求f(x)的解析式；求m的取值。Key:f(x)=2x+1;m0三、幕函数解析式f(x) =xa，当a=1时，一次函数；当 a=2时，二次函数；当 a=-1时，反比例函数；当a=l时，y= x。幕函数只要求掌握 a为某些特殊值的时候的图象即可。2幕函
8、数性质的推广(1)一般地，当a 0时,幕函数y=X a有下列性质： 图象都通过点(0,0),(1,1)； 在第一象限内，函数值随x的增大而增大【也就是x0单调递增咯】 在第一象限内，a 1时，图象是向下凹的；0a 1时，图象是向上凸的； 在第一象限内，过(1,1)点后，图象向右上方无限伸展当a 0单调递减咯】 在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近； 在第一象限内，过(1,1)点后,|a I越大，图象下落的速度越快1、看指数判断图象前人归纳的结论：幕函数的图象一定会出现在第一象限， 一定不会出现在第四象限， 是否在 第二、三象限内出现，要看奇偶性；在 (0,1)上幕函数中
9、指数愈大，函数图象愈靠近 x轴(简 记“指大图低”)在(1 ,+ )上，幕函数中指数越大，函数图象越远离 x轴.Eg :如上图，为幕函数A . C1C2C3C4C. C1C2C4C3y xAn在第一象限的图象，则 C1、C2、C3、C4的大小关系为()B . C2C1C4C3D . C1C4C3C2【解析】观察图形可知，C10 , C20，且C11，而0C21 , C30, C40,且C3C4.【答案】 CEx:如上图是幕函数 y= xm和y = xn在第一象限内的图象，则 ()A1*0m1B . * 1,0m1C. 1n1 D. * 1, m1 key:A 2、比较大小-利用幕函数的单调性比
10、较大小要注意以下几点:将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的形式.(2) 构造的幕函数，要分析其单调性.(3) 注意两个函数值要在同一个单调区间上取到.若直接不易比较大小，可构造中间值，间接比较其大小.(中间值通常选用 0、1)例4比较下列各组数的大小.(1) 1. Ht0. 9J；fy 2_ in j_(2) ( -y)T.( -y) T,( -I- DJ.【解析(1 )把I看作1+,考察帯函数了710，在(0 + 8)上它是增函数.(-学)土(1)亍=( 广)可=|+2| 慕函數y =左f 0, + )上是增函数，且即 0.9T 1 1. 1T.思考题4比较下列各组数的大小.壬L(1)
11、3_T和 3.1_7.-L和-(f)72I 2(3) (-亍)和(-石)X2_2_土(4) 4. lyJ.8_T和(- 1.9厂工(2)7 y+ )上彊减且 0 C& 9 *解析】 1)V y = xr在(讥卡曲)上通减.且 03 3. 1(3) / V = xT在(0, + )上逮:成且为偶函数 丁=工与在(-)上递増且3J7T(4) (3. 8_y 0,m, n N+,且n1). 0 的正分数负分数指数幕没有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数.(3 )分数指数幕的运算性质r sr a a二a (a 0,r,s R)如果是除法就相减咯。 (ar)s 二 ars(a 0,r,s R) (ab)r = arbr (a 0,b 0,r R)解决此类问题的关键是利用幕指式的运算性质，将根式与指数幕互化一般地,进行指数幕的运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幕，便于利用幕的运算性质，化繁为简.1) 丄22.一EG: -a3b IR-3a 2b 4(4a3b-3) Tab;芒 /广1、111311原式 = 一5 a 6b 丄 F (2a1 b _3) ab2 =5a 2b 2 Xa2b2 =_ b=_旦.2丿 32444b1 1原式二互=72空 2-1=3-49 5 -1 =V5.10009332、图像性质：f(x) =ax自变量在指数的位置，注意跟幕函数f(x) =xa区别尹A
