《高中数学第一章计数原理4简单计数问题导学案北师大版选修231130326》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章计数原理4简单计数问题导学案北师大版选修231130326（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019学年北师大版数学精品资料4 简单计数问题自主整理1.区别排列问题与组合问题的关键是元素是否_.2.解决相邻元素问题的方法是_.3.解决元素不相邻问题的方法是_.4.有特殊要求的元素问题常用_.5.有特殊要求的位置问题常用_.6.无序平均分组问题常用_.7.相同元素分组问题常用_.8.“至多”“至少”问题常用_.高手笔记1.捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”.例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某m(mn）个元素必相邻的排列有AA个.其中A是一个“整体排列”，而A则是“局部排列”.2
2、.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.运用插空法解决“元素不相邻问题”时，要同时借助框图和数数法求解.3.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.4.调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有A种，m(mn)个元素的全排列有A种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一
3、定，共有种排列方法.记忆规律是：顺序一定作除法.名师解惑1.解排列、组合应用题应注意哪些问题？剖析：做排列、组合的应用题，一般来讲要解决好三大难题：一是确定问题的属性，即所给问题是排列还是组合；二是确定解题策略，即是要分类求解还是分步求解；三是选择恰当的解题方法，即是用直接法还是间接法.而这三大难题的关键则是真正弄清“三对关系”的深刻含义.（1）“分类与分步”的关系分类复杂事件A的排列与组合问题，需要对A在一个标准下分类讨论，把A分解为n类简单事件A1，A2，An.分类的原则是：A=A1A2An,AiAj=(ij,i、j=1,2,n).在这样的原则下对事件A分类，能够确保分类的不漏不重.把A分
4、为A1，A2，An的同时，对应的办法S也随之被分为n类办法S1，S2，Sn，且S=S1S2Sn,SiSj=(ij;i、j=1,2,n).其结果用分类加法计数原理计算.分步事件A完成分类以后，对每一类要进行分步，分步要做到“步骤连续”和“步骤独立”，这样就可以确保对每一类事件的分步不漏不重.事件的分步对应方法的分步.如A1分为n步B1，B2，Bn，则对应的有S1被分为n种方法S11，S12，S1n.其结果用分步乘法计数原理计算.由此可见，我们可以得到两点结论：其一，分类与分步是区别选用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的唯一标准，即分类相加，分步相乘；其二，若把事件A分为n类简单事件A1,A2,
5、An，并且完成事件Ak又需分作Sk步（k=1,2,3,n)，对应每一步又可有Ski(i=1,2,3,n)种不同方法，这样完成事件A就共有N=(S11S12S13S1n)+(S21S22S23S2n)+(Sn1Sn2Sn3Snn)种不同方法.（2）“有序与无序”的关系界定排列与组合问题的唯一标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题.排列与组合问题并存的时候，解答排列与组合问题，一般采用先组合后排列的方法解答.（3）“元素与位置”的关系解答排列与组合问题，界定哪些事物是元素，哪些事物是位置至关重要，又没有唯一的定势标准，所以要辩证地去看待元素与位置.解题过程中，要优先安排有限制条件的
6、特殊元素和特殊位置，并灵活运用“捆绑法”和“插空法”，“直接法”和“间接法”.2.排列、组合应用题的基本题型与解题策略是什么？剖析：排列、组合应用题的常见类型及解题策略如下表：类型特征常见题型解题策略组合排列指定元素型从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内先C后A策略分类求解策略CC从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每一个排列（或组合），都至少包含
7、某r个元素中的s个元素分类求解策略从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每一个排列（或组合），都至多包含某r个元素中的s个元素定位型从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列，规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置分步求解策略相邻型把n个不同元素作全排列，规定某r个元素连排在一起捆绑策略相离型把n个不同元素作全排列，规定某r个元素中的任意两个元素都不相邻（r)插空策略平均分组型把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有几种分法排异除重策略环状型把n个不同元素围绕一个圆进行排列，共有几种不同的排列顺序一定型把n个不同元素作全排列，规定某r个元素必须按一定顺序排列
8、，共有几种不同排列讲练互动【例1】7个人按下列要求并排站成一排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站在正中间，也不站在两端；（2）甲、乙两人相邻；（3）甲、乙之间相隔2人；（4）甲站在乙的右边；（5）甲、乙都与丙不相邻.（6）若7个人站成两排，第一排3人，第二排4人，共有多少种站法？（7）若7个人站成一个圆环，有多少种站法？分析：（1）的限制条件甲不站在正中间与两端，意思是说甲只能站在余下的4个位置，因此可以先在这4个位置上排上甲而后再排其他人员，或者先从其余六人中选出三人排在正中间和两端.（2）由于甲、乙两人相邻，因此可把甲、乙两人合看作一个元素（捆绑法）参加全排列，但不要忘记甲、乙两人的局
9、部排列问题.（3）可以先从其余五人中选两人站在甲、乙之间，然后将此二人连同甲、乙四人看作一个元素（捆绑法）参加全排列，同样甲、乙之间也要进行全排列；还可以运用“数数法”将甲、乙站的位置确定出来，即甲、乙只能在1与4，2与5，3与6，4与7这四种位置上.（4）甲不是站在乙的右边，就是站在乙的左边，两者必居其一，因此可以用“调序法”求解，或先按题目的要求从七个位置中选两个将甲、乙排好，然后再排其余人员.（5）本题可分成甲、乙相邻但不与丙相邻及甲、乙不相邻且都不与丙相邻两类进行研究.（6）把元素排成几排的问题，可化归为一排考虑，再在一排中分段处理.（7）7人站成一个圆环，剪开排成一排，对应7个排列.
10、故环状排列问题用剪断直排法处理.（1）解法一：先让甲站在余下的四个位置中的任一位置上，有C种，再让余下的6人站在其他位置上，有A种不同站法，根据分步计数原理，共有N=CA=2 880种不同站法.解法二：甲不站正中间也不站在两端，可先从其余6人中任选3人站在这3个位置上（占位法），有A种站法，再让剩下的4人（含甲）站在其他4个位置上，有A种站法，根据分步乘法计数原理，知共有N=AA=2 880种不同站法.解法三：先让甲以外的6人站成一排，有A种站法，再让甲插入这6个人之间的4个空档位置（不插在正中间），有A种方法.故共有N=AA=2 880种不同的站法.解法四：整体排异法.无限制条件的7人并排站
11、成一排，有A种站法，去掉甲站在正中间及两端的情况，共有AA种，故共有N=A-AA=2 880种不同站法.（2）解法一：捆绑法.先把甲、乙两人合在一起看作一个元素，参加全排列共有A种站法，然后甲、乙两人局部排列，共有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有N=AA=1 440种不同站法.解法二：插空法.先让甲、乙以外的5个人站队，有A种站法，再把甲、乙两人合在一起作为一个元素插入5个人形成的6个空档中，有A种站法，最后甲、乙两人局部排列，有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有N=AAA=1 440种不同站法.（3）解法一：捆绑法.先从甲、乙以外的5人中任选2人站在甲、乙之间，有A种站法，再将甲、乙及
12、中间二人共4人看作一个整体参加全排列，有A种站法，最后甲、乙进行局部排列，有A种站法.根据分步乘法计数原理，知共有N=AAA=960种不同站法.解法二：数数法与插空法相结合.先让甲、乙以外的5人站队，有A种站法，再在5人形成的6个空档中的1与4，2与5，3与6，4与7的位置上排上甲、乙，共有4A种站法，根据分步乘法计数原理，有N=A4A=960种不同站法.（4）解法一：组合法顺序一定用组合.先在7个位置中选2个位置排上甲、乙（甲在乙的右边顺序一定问题），有C种站法，再在余下的5个位置上站其余5人，有A种站法，根据分步乘法计数原理，知共有N=CA=2 520种.解法二：调序法.甲在乙的右边与甲在
13、乙的左边的情况是一一对应的，因此，甲在乙的右边的站法是7人任意站法的一半.故共有N=A=2 520种.（5）解法一：直接法.分类求解.将问题分成甲与乙相邻但不与丙相邻及甲、乙、丙互不相邻两类研究.第一类情况可先让其余4人站队，有A种站法，他们之间形成5个空档，再把甲、乙两人看作一个整体与丙共两个元素插入5个空档，有A种站法，最后甲、乙两人进行局部排列，有A种站法，故这类情况有AAA种不同站法；第二类情况也可先让其余4人站队，有A种方法，再把甲、乙、丙3人插入5个空档，共有A种方法，因此这类情况有AA种，根据分类加法计数原理，知共有N=AAA+AA=2 400种不同站法.解法二：间接法.整体排异
14、，7个人排成一排，有A种方法.甲、乙都与丙相邻的站法，即丙站在甲、乙中间的站法共有AA种；甲与丙相邻或乙与丙相邻的站法均为AA种.但甲、丙相邻与乙、丙相邻的站法中都包括了丙站在甲、乙中间，故根据分类计数原理和整体排异策略知，共有N=A-2AA+AA=2 400种不同方法.（6）A=5 040种不同站法.（7）=720种不同的站法.绿色通道:“在”与“不在”，“相邻”与“不相邻”或“相间”，是常见的有限制条件的排列问题.“在”一般用“直接法”求解，“不在”可用“间接法”；“相邻”问题一般用“捆绑法”，“不相邻”问题用“插空法”；“顺序一定”可用“调序法”或“组合法”.一般来说，解排列、组合应用题
15、除了上述方法外，有时还用“占位法”或“数数法”，更多情况下需要对问题进行恰当的分类或分步.分类时要注意“类与类”之间的并列性和独立性、完整性；分步时要注意“步与步”之间的连续性和独立性、依赖性，做到不重不漏.变式训练1.安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日.不同的安排方法共有_种.（用数字作答）解析：因为甲、乙二人都不安排在10月1日和2日，可安排在其余5日值班，有A种方法；再安排其余5人，有A种方法.根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有AA=2 400种.答案：2 400【例2】由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数的共有_
