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1、【本讲教育信息】一 .教学内容：等差等比数列综合应用二 .重点、难点1 .等差等比数列综合题2 .数列与其它章节知识综合3 .数列应用题【典型例题】如果再把这个例1 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上 4所得三个数成等差数列,等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。解：等差数列为a d,a,a d(a d) (a d) (a 4)2(a d)(a d 32) a2a2 d2 a2 8a 16(1)(a2 d2) 32(a d) a2(2)2_ 2 a 8a 16 32 32d a2 3a 4d 0代入(1)2 1d 8 (4d 2) 16323d 32d 64 0(3
2、d 8)(d 8) 0 d8a 10 d 8a 2639此三数为 2、16、18或 2、 999例2等差数列an中，a393, a2 a3768, bn是等比数列，q(0,1) ,bi2 ,bn所有项和为20,求:(1)求 an, bn(2)解不等式am电m160b2m 1解：(1) 2a1 3d 768d 6an6n 399bi1 q2010 bn不等式2(落1 一2 m(am 1 a2m )m 19160 2 101-m(6m 393 12m 399)16 18 (m1)_2 _9m2 396m 16 18 (m 1) 02_m12m 32 0(m 4)(m 8) 0 m 4,5,6,7,
3、8例 3 an等差，bn等比，a1 4 0 , a2b2 0, a1 a2,求证：anbn(n 3)解：a 2 b2ai d a1qda1 (q 1)bn anaiqn1a1(n1)da1(qn 11)(n1)(q1)a1(q1)(qn2 qn31)(n 1)(q 1)a1(q 1)(qn 21) (n 1)a1(q1)(qn21)(qn3 1) (q1)(11)*q (0,1) q 1 0 qn 1 0. * 0q (1,) q 1 0 qn 1 0. * 0Tn，求 Sn。n N n 3时，bnan例 4 (1)求 Tn； (2) SnT1T2解:a4a5a6a7a8a9a15480a 2
4、1d 2Tn中共2n 1个数，依次成等差数列TiTn1 共有数 1 22n 22n 1 1项Tn的第一个为a2n 121 (2n11 1) 2 Tn 2n 1 (2n23)1(2n 1)2(2n 11) 22n 1n 1223 222n22n 12n 2n3 23 2SnTlT2Tn023(202222n 2)(232n2)1(1 4n)3 1 4n 32244n 24 2n23(2n23)(2n1)a1a2a2n例5已知二次函数f (x)在 x2，一2处取得最小值t2-(t 0), ”1)04(1)求y f(x)的表达式;(2)若任意实数x都满足等式f (x) g(x) anxbnn 1 -
5、, 、-*x g(x)为多项式，n N ,试用t表小an和bn ；(3)设圆 Cn 的方程为(x an)2 (y bn)2 rn2，圆 Cn 与 Cn1 外切(n 1,2,3,)；%是各项都是正数的等比数列，记 Sn为前n个圆的面积之和，求 J,Sn。t 22t2解：(1)设 f(x) a(x -)2 -24由 f(1) 0得 a 1 f(x)x2 (t 2)x 1(2)将 f(x) (x 1)x (t 1)代入已知得:(x 1)x (t 1)g(x) anx bnxn 1上式对任意的x R都成立，取x 1和x t 1分别代入上式得:an bn 1(t 1)anbn(t一且1 0,解得an 1
6、)n 1n1 1,b t 1bn 丁1 (t 1)n(3)由于圆的方程为22(X an)(y bn)又由(2)知 anbn1,故圆Cn的圆心On在直线X又圆Cn与圆Cn1相切,故有rnrn 1 2 | an 1an| .2(t 1)n 1设7的公比为q,则rnrnq- 2(t 1)nn 1n 1q.2 (t1)n + 得 qr n 1rn代入1得%2 (t1)n 122rn2)r：(q2n1)q2 11)2n1例6 一件家用电器现价 2000元，可实行分期付款，每月付款一次且每次付款数相同，购 买后一年还清，月利率为0.8%,按复利计算(每一个月的利息计入第二个月的本金)，那么每期应付款多少？
7、 ( 1.008121.1)分析：这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和。解析一：设每期应付款x元第1期付款与到最后一次付款时所生利息之和为x(1 0.008)11元，第2期付款与到最后一次付款时所生利息之和为X(1 0.008)10元，第12期付款没有利息，所以各期付124款连同利息之和为 X(1 1,0081.00811) 11 X1.008 1又所购电器的现价及利息之和为2000 1.00812一 121.0081x1.008 1一- 122000 1.008_12解
8、得 X 16 1.0081 76 元1.00812 1每期应付款176元解析二：设每期付款x元，则第1期还款后欠款2000 (1 0.008) x第 2 期还款后欠款(2000 1.008 x) 1.008 x 2000 1.00821.008x x第 12 期还款后欠款为 2000 1.00812 (1.00811 1.008101)x第12期还款后欠款应为 01211102000 1.00812 (1.00811 1.008101)x 0解得x122000 1.008127121.00811.008 1176元每期应还款176元例7设数列an的各项都是正数，且对任意 n N都有3332a
9、a2an (& a2an)，记Sn为数列an的刖n项和。(1)求证：a2 2Sn an；(2)求数列an的通项公式；(3)若bn 3n ( 1)n 1 2a,(为非零常数，n N ),问是否存在整数，使得对任意n N都有bn 1bn。解：(1)在已知式中，当n 1时，a3 a2a10. a11当 n 2 时，a； a33an 13an(a1a2、2an 1 an)3an 1(a1a2an 1)得a3an(2ai2a22an ian )an 0a2 2ai 2a22an i an ,即 a22Snanai 1 适合上式a2 2Sn an (n N )由(i)知，an22Sn an(n N )当
10、n 2 时，a2i 2Sni ani 得a22an i 2(Sn Sn i)anani 2an anan ianan ian an ian an i数列an是等差数列，首项为i,公差为i,可得an n(3) annbn 3n ( i)n i2an3n ( i)ni 2n例8已知点Aa(n,an)为函数Fi : y点，其中n N ,设cnan bn(nVx2 i上的点，Bn(n,bn)为函数F2 ： y x上的 *N )(i)求证：数列Cn既不是等差数列也不是等比数列；试比较g与g i的大小。(i)证：由已知 anvn2 i , bn ncn an bn vn2 i n假设Cn是等差数列，则必有
11、 2C2 Ci C3(i)而 2c22( ,22 i 2) 2( .5 2)ci c3( iii i)( 一 32i 3)2. i0 4由(i)2V5 2$而2 V5矛盾Cn不是等差数列假设Cn是等比数列，则必有C2 G c3即(.5 2)2 ( . 2 i)( i0 3)6(i 45)32 viQ即 47 2i，5矛盾Cn不是等比数列综上所述，Cn既不是等差数列，也不是等比数列(2) Cn 1, (n 1)2 1 (n 1) 0Cn. n2 1 n 02 (n 1)2 1 (n 1)n2 1 ncnn2 1 n , (n 1)2 1 (n 1)0,n2 1. (n 1)2 12.n 1 n(
12、n 1)2 1 (n 1) 0Cn 1CnCnCn 1例 9设 f (x)a(x 2)，八八-1一、，一、f(x)有唯一解，f(x1) , f (xn) xn1(n N )1003(1)求x2004的值;22(2)若 an 4009。且 bn an 1 an (n N*),求证：h b2bn n 1 ；xn2an 冏m(3)是否存在最小整数 m,使得对于任意n N有xn 成立，若存在，求出m2005的值；若不存在，说明理由。x(1)斛：由x ,可以化为ax(x 2) xa(x 2)ax2 (2a 1)x 01_当且仅当a 金时，x f(x)有唯一解x 02x2x从而f (x) 又由已知f (xn) xn 1 得xn 1x 2xn 2111111,*、，即 一(n N )xn 12 xn xn 1 xn2一 1、一、一，数列 是首项为xn11乙-,公差为1的等差数列Xi211 n 12 (n 1)xXnXi22x12x1(n 1)x12f(x1)110032x1x1 2,即 x1100322005xn2 220052故 x2004(n 1) 2005220042004 2004(2)证明:20042xnn 2004an2004 4 4009 2nbn2an2a
