《导数知识点归纳及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数知识点归纳及应用（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数知识点归纳及应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=fx+fx，比值叫做函数y=fx在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做fx在点x处的导数，记作fx或y|。即fx=。说明：1函数fx在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。2是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=fx在点x处的导数的步骤： 求函数的增量=fx+fx； 求平均变化率=； 取极限，得导数f(x)=。例：设
2、f(x)= x|x|, 那么f( 0)= .解析： f( 0)=02导数的几何意义函数y=fx在点x处的导数的几何意义是曲线y=fx在点px，fx处的切线的斜率。也就是说，曲线y=fx在点px，fx处的切线的斜率是fx。相应地，切线方程为yy=f/xxx。例：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是( )A3B2C1D0解析：切线的斜率为又切线的倾斜角小于，即故解得：故没有坐标为整数的点3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=st，那么该物体在时刻t的瞬间速度v=t。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=vt，那么该物体在时刻t的加速度a=vt。例。汽车经过启动
3、、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，假设把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是 stOAstOstOstOBCD答：A。练习：质点M按规律做直线运动位移单位：cm，时间单位：s。（1） 当t=2，时，求；（2） 当t=2，时，求；（3） 求质点M在t=2时的瞬时速度。答案：18.0228.002；38二、导数的运算1根本函数的导数公式: C为常数; ; ; .例1：以下求导运算正确的选项是 ( )A(x+ B(log2x)= C(3x)=3xlog3e D (x2cosx)=-2xsinx 解析：A错，(x+ B正确，(log2x)= C错，(3x)=3xln3 D错，(x
4、2cosx)=2xcosx+ x2(-sinx)例2：设f0(x) sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x) fn(x)，nN，那么f2005(x)( )Asinx Bsinx Ccosx Dcosx解析：f0(x) sinx，f1(x)f0(x)=cosx，f2(x)f1(x)= -sinx，f3(x)f2(x)= -cosx， f4(x) f3(x)=sinx，循环了 那么f2005(x)f1(x)cosx2导数的运算法那么法那么1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法那么2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函
5、数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：假设C为常数,那么.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法那么3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：v0。例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,0.且g(3)=0.那么不等式f(x)g(x)0的解集是 ( )A (-3,0)(3,+) B (-3,0)(0, 3) C (-,- 3)(3,+) D (-,- 3)(0, 3)解析：当x0时,0 ，即 当x0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，g(-3)=0，f(-3)g(-3)
6、=0故当时，f(x)g(x)0，又f(x)g(x)是奇函数，当x0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0故当时，f(x)g(x)0应选D3.复合函数的导数形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法那么：y|= y| u|或者.练习：求以下各函数的导数： 1 2 3 4解：(1) y 2 y=x2+3x+2x+3=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11.3y=4 ，三、导数的应用1.函数的单调性与导数1设函数在某个区间a，b可导，如果，那么在此区间上为增函数；如果，那么在此区间上为减函数。2如果在某区间内恒有，那么为常数。例：函数是减函数的区间为(
7、 )AB C D0，2 解析：由0，得0x0，当时，0，故的极小值、极大值分别为， 而故函数在-3，0上的最大值、最小值分别是3、-17。经典例题选讲例1. 函数的图象如下图其中 是函数的导函数，下面四个图象中的图象大致是 ( ) 解析：由函数的图象可知：当时， 0，此时增当时，0，0，此时减当时，0，0，0，此时增应选C例2.设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。解：假设，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾假设， ，也只有一个单调区间，矛盾假设 ，此时恰有三个单调区间 且单调减区间为和，单调增区间为例3. 函数的图象过点P0,2,且在点M处的切线方程为. 求函数的解析式；
8、求函数的单调区间.解：由的图象经过P0，2，知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.例4. 设函数，是奇函数。求、的值。 求的单调区间与极值。解：，。从而是 一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；由知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。例5. fx=在x=1，x=时，都取得极值。1求a、b的值。2假设对，都有恒成立，求c的取值范围。解：1由题意f/x=的两个根分别为1和 由韦达定理，得：1=， 那么，2由1，有fx=，f/x= 当时，当时，当时，当
9、时，有极大值， 当，的最大值为 对，都有恒成立， 解得或例6. 是函数的一个极值点，其中，I求与的关系式；II求的单调区间；III当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.解：(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以II由I知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.III由得，即又所以即设，其函数开口向上，由题意知式恒成立，所以解之得又所以即的取值范围为例7：2021天津理20函数其中（1） 当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 当时，求函数的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等根底知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。总分值12分。解：III w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分两种情况讨论。1，那么.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2，那么，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
