8-1 某码字的集合为00000000 1000111 0101011 00111011101100 1011010 0110110 1110001求：（1）该码字集合的最小汉明距离；（2）根据最小汉明距离确定其检错和纠错能力解：（1） 通过两两比较每个码字，可知该码字集的最小汉明距离为4：（2） 因为检错能力与最小码距的关系为：dmia = e + l,所以检错能力为g = d 1 = 4 — 1 = 3min又因为纠错能力与最小码距的关系为：《^ = 2/ + 1，所以纠错能力为d. -1 4-1 | .t= —=——= 1.52 2取整后可得，纠错能力为/ = 18-2 己知二进制对称信道的差错率为尸=10一二（1） （5, 1）重复码通过此信道传输，不 可纠正错误的出现概率是多少？（2） （4, 3）偶校验码通过此信道传输，不可检出错误的出 现概率是多少？解：（1） 当（5, 1）重复码发生3个或3个以上的错误时不可纠正，此时不可纠正的错误 出现的概率为P = C；p3 （1 - p）2 + W （1 -尹 + （］ 一 尸）、9 85 X1（T6（2） 当（4, 3）偶校验码发生偶数个错误时这些错误不可检出，这些错误出现的概率 为P = C；P~（1 - P）2 + C^P4（1 - p）° 忌 5.88X10"48-3等重码是一种所有码字具有相同汉明重量的码，请分析等重码是否线性码？解：因为该码字集中所有的码字均有相同的码重，因此全零码字不包括在内，而线性码在 输入信息位均为零时，输出也全为零，因此一定包含全零码。
因此等重码不是线性码8-4 对于一个码长为15,可纠正2个随机错误的线性分组码,需要多少个不同的校正子？ 至少需要多少位监督码元？ 解：对于一个码长为15的线性码，1个及2个随机错误的图样数为Ck + E = 120所以至少需要121个校正子因为 2耳 一1 = 63 < C/5 + 席= 120 <27-1 = 127所以至少需要7位监督码元8-5己知一个系统线性码(7, 4)的监督矩阵为求：(1)生成矩阵G； (2)当输入信息序列m = 11010U01010,求输出码序列C； (3) 若出现错误图样0001000.求相应的伴随式解：_1110-(1)由监督矩阵可知其矩阵—01111101"10001o r由此可得生成矩阵G = [hP010011100101100001011(2)将输入的信息序列以每4位分组为〃?= 11010110 1010,根据每个信息码组分别求输出码字，可得1101 — 1101001, 0110^0110001, 1010^1010011 因此输出码序列为110100101100011010011 o8-6己知某线性分组码生成矩阵为_0 0 1 1 1 0 1G =0 10 0 11110 0 1110试求：(1)系统码生成矩阵G = [/,F]表达形式；(2)写出典型监督矩阵//： (3)若译码器 输入)，=(0011111 ),计算相应的校正子S ； (4)若译码器输入y = (1000101 ),计算相应 的校正子S°解：(1)原生成矩阵的第一和第三行交换，生成矩阵变为系统码的生成矩阵G'=(2)由G',可得其中的户子矩阵,1110011111011000010000101110F= 0 1 1 1 ,由此可得系统码的监督矩阵为 110 10一 0 01_(3) 若输入)，=(0011111 ), 5= y =(0011111 )-//,r =(0010)：(4) 若输入y = (1000101 ), S = = (1000101 )・H" = (1011)。
8-7在下列表中列出了 4种（3, 2）码G、G和G，请分析这4个码是否线性分组码？是否循环码？信息位C；C：C3C400000000001011010110110101101011011110000111101100000111解：Q满足加法自封闭性，是线性码；q中的码字任意循环后仍然是许用的码字，因此是循环 码满足加法自封闭性，是线性码；中有码字，如oil和io任意循环后不是需要码字，因此不是循环码虽然该码循环后仍然为许用码字，但不满足加法自封闭性，因而不是线性码：因而也不 是循环码不满足加法自封闭性和循环性，因而不是线性码，也不是循环码8-8下列中的多项式是系数在GF（2）上的多项式，计算下列各式(1) (x4 + X3 + X2 +1)+ (x3 + X2 );(2) (X3 + x2 +1)(X4-1);(3) (x4 + x)nx)d(x2 +1) (1) (x4 + x^ +x2 +1)+ (x3 + x2)= x4 + (x3 + %3)+ (x2 + X2)+ 1 = X，+ 1(2)(x3 + x2 + l)(x+1)= x4 + x3 + x+x5 + x2 + I =x4 + (x3 + F)+ X2 + X+l = X4 + X2 + x+1(3)因为X +X r , x+l —―=r+l+ -jr +1 ;r +1，所以(x4 + .v)nx)cl(x2 +1) = x +18-9若已知一个(7, 3)循环码的生成多项式为gGXF+r + F+l,试求其生成矩阵。
解：循环码的生成矩阵的生成多项式形式为+ x5 + x4 + X2G(x) =—史+ x4 + X3 + Xg(x)+F+F + 1相应的生成多项式为'11 1010 0-G =01 1101 000 1110 18-10 (1)证明(15, 5)循环码的生成多项式为8&)=器+ / +尸+ ?+尸+1+1；(2)求相应的监督多项式/?(】)=? : (3)若信息码多项式为u{x)=x4+x+l,求相应的 系统码多项式解：(1)因为〃一4 = 15—5 = 10,等于g(x)的次数，g(x)的常数项为1，且x15 + l x15 +1 5 3 t FV = ~10 S 5 4 7 = 1 + X + X + 1£(X) X +X +X +X +X" + X + 1即g(x)可以整除x15 + l,因此g(x)是生成多项式2)因为计+ l=g(*M(X)，因此有(1)可知/?(A)= I = X5 +X3 +X+1g(x)(3 )因为〃(小1 =(X，+ X+1)- X10 =X14 +X11 + X10u(x)xn~k _ X14 + x11 + X10 _ Q(x)+ xs + x7 + X6 + Xg(x) XiQ + x3 + x5 + x4 + x2 + X + l x10 + Xs + X5 4- x4 + X2 4- X+ 1其余式为：r(x)= Xs + x7 +对+ x因此u(x)xn~k + r(x) = (x14 + x11 + x1。
)+ (xs + x7 + x6 + x)=广 + .?+.产 + / + ]7+]6 + 工8-11试构建一参数位(31, 26)的汉明循环码，求其系统码结构的生成矩阵和监督矩阵, 并计算其码率解：由表8.7.9,由〃 =31, k = 26的编码参数要求，可选选择对应的生成多项式的参数(45)八进制=(100 101)= g(X)= X，+ X? +1作为该汉明循环码的生成多项式由式(8-7-33),得其系统码结构的生成矩阵其中£(x)三X*n»dg(X) i = 25,24,…,1,0「乂3只 5(X)) XF“(X) G(X)= ......X6 + P\x)、XW"由此可得其生成矩阵为，计算出式中各相应的各个余式，代入上式中可得，由各多项式的系 数可•得生成矩阵和监督矩阵该循环汉明码的码率为c k 26K =—=——n 31。