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1、解析几何中的最值问题华师大松江实验高级中学 王丽萍一、教学目标：1、知识与技能：熟练地根据变化中量的关系，建立目标函数，然后用求函数最 值的方法求解解析几何中的最值问题。2、过程与方法：灵活运用所学知识，运用函数、数型结合等数学思想，进行探 索和解决问题，加强一定的观察能力和创造能力，提高分析和解决问题的能力。3、情感态度和价值观：在愉快、轻松的教学氛围中，激发学习的热情和兴趣， 主动积极地参与到教学过程中，发展智力、培养能力，获得学习成功的快乐。二、重点难点重点：掌握利用建立目标函数求解析几何中的最值问题。难点：灵活运用所学知识，把解析几何中的最值问题转化为先求目标函数，然后 根据函数关系式
2、特征选用各种方法求出它的最值。(X2,打)三、复习： 1、两点之间的距离公式：已知点A (x , y )、- 11 AB 巳(X1 - X2)2 + (y- - y*)2；又点 AB 是直线 l: y = kx + b占八、I AB 1= V1 + k2 -1 x - x 1= x/1 + k2 - (x + x )2 - 4x x。1 2 V 1 2 1 22、点与直线的距离公式：已知点 A (x, y)， 直线1 1l: ax + by + c = 0(a,b不能同时为0)，则点A到直线l的距离d = + by + c I。 a 2 + b 23、直线与直线之间的距离公式：已知两平行直线l
3、 : ax + by + c = 0、1 1| c c I1 : ax + by + c = 0， (a、b不能同时为0)，则直线l、l之间的距离1。2 212va 2 + b 24、点与圆之间的位置关系:已知圆C： (x-a)2 + (y-b)2 = r2圆心为C，半径为r，点P(x ,y )，若I PC I= r，则P点在圆C上;若I PC I r， 1 1则P点在圆C外。四、例题讲解：引入：已知圆C： x2 + y2 = 4，点P (6，0)，若点A是圆C上一动点，求|PA| 的最小值。问题1：已知圆C： x2 + y2 = 4，点P(6, 0),试判断点P与圆C的位置关系。（点在圆外）
4、问题2：如果在圆C上取一动点A,求|PA|的最小值？怎么得到这个值的？ （4） 问题3：那最大值呢？（8）如果把圆变成双曲线，我们还能利用图像来求最值吗？x 2 _ y 2例1、已知双曲线：T - 2 1，点P（6, 0），若点A是双曲线上一动点，求|PA| 的最小值及对应的点A坐标。说明：因为双曲线左、右两支无限延伸，此时点A与点P的距离只有最小值没有 最大值。学生回答：当点A坐标为（1，0）时，|PA|最小，最小值为5。（错误）教师：我们不妨取点来验证一下，取点A（5,-21），此时I PA I二竺 5。22 2说明利用图像我们不能求出双曲线上一动点到一顶点的距离的最小值。教师：那我们几何
5、方法不行，我们看看能不能用代数方法解决这个问题。不妨设 点A（x,y），则I PA I= y（x- 6）2 + y2，根号里有两个量，能不能把其中一个量用 另外一个量来表示，让根号里只出现一个量，方便我们研究。由y2 = 2x2 -2代入I PA1= （x - 6）2 + y2，得到丨 PA l=*3x2 -12x + 34。此时，当 x 唯一确定时，对应的I PA I也是唯一确定的，我们可以把I PAI看作是关于x的一个函数。由此,要求I PA I的最小值，就是求函数I PA I=f3x 2 -12 x + 34的最小值。问：那函数I PA I=；3x2 -12x+34的定义域是什么？学生：
6、（一8,-1 u 1,+8）教师：那我们怎么求这个函数的最小值呢？先观察一下这个函数解析式的特点， 它是一个根式，里面是一个二次函数，求此类的函数最值，我们一般先求根式里 的二次函数最值，然后再求原函数的最值。下面我们来做一下这道题目。板书：设点 A（x, y），则 I PA I= *（x - 6）2 + y2x 2 y 2因为T-2 =1所以 I PA I= $3x2 -12x + 34二(3(x- 2)2 + 22 ( x e (-s,-1 u 1,+s) 当 x = 2 时，I PA I 迈min此时，点A (2, 詣)教师：这种把最值问题转化成函数最值问题的方法，我们称为是函数最值法。
7、问：请改变一下例1中的某些条件，成为一道新题，并求解此新题。(学生可能的答案1：把双曲线变成抛物线；答案2：把双曲变成椭圆；把P点 坐标改变问：若把P点坐标变成含有字母情况，如：P(a,0)那我们解决此题呢？I PA I=、： （x 一 a）2 + y2 =、： 3x2 一 2ax + a2 一 2 = *3（x 一 ）2 + 一 2x e （一卩一1 u 1,+s）（1）当 a e （一卩一1 u 1,+s）即 a e （一卩一3 u 3,+s）时，53 一2(2) 当 a e (-1,0即 a e (-3,0时，x = 一1 时，丨 PA I =、(a +1)2 =1 a + 1I3min
8、(3) 当a e (0,1)即 a e (0,3)时，x = 1 时，丨 PA I = p(a 一 1)2 =| a 一 1I3 min例1我们研究了一定点与曲线上一动点的距离最值问题，那如果两点都是动点, 那我们还能不能用函数最值法来解决呢？下面请大家看例2.例2、已知直角三角形的顶点A、B在椭圆x2 + 3y2 = 4上，点C在直线l: y = x + 2 上，且AB1,求斜边| AC丨最大值。问：例1中我们选用动点的横坐标作为函数的变量，那例2我们选用什么作为变 量呢？是点A、点C，还是别的量呢？我们先看看几何画板演示、教师先用几何画板展示，说明：当直线AB： y = x + m在移动时
9、，点C也相应的 在动，也就是直线AB的截距在动时，点C也在动，所以我们选用直线AB上的截 距m作为变量，用m来表示斜边| AC|。由于点A、C的坐标我们很难求出，不能 直接利用两点之间的距离公式，我们可以运用勾股定理，I AC I2 =I AB I2 + IBC I2，其中|AB |是椭圆上的弦，而|BC |是直线AB与直线/的距离，有弦长公式和两平行 直线距离公式，我们可以得到|AC| =板书：设直线 AB： y = x + m，点 A(x , y )、B(x , y )1 1 2 2贝VI BC I=I m 一 21、辽y x + m*/ c3m3m2 4/ 4x2 + 6mx + 3m2
10、 一 4 = 0 /. x + x 二一 ,x x =x 2 + 3 y 2 = 4122124AB 1= J1+K J( x - x )2 =42 J(x + x )2 - 4xx =42 、- + 412v 121 2Y 4AC I2 =| AB I2 +1 BC I2 = m2 一 2m +10AC 1= J m 2 2m +10问：丨ACI=：-m2 2m +10是函数吗？(是的)那定义域？4运4运/ A 0 .A = 12m2 + 64 0 . m 33I AC I= J(m +1)2 +11 所以，当 m = 1 时，I AC I 11max五、小结：六、课后作业1、已知直线l过点P (1,2)交x正半轴、y正半轴于点A、B,求|PA| + |PB|的最 小值。2、已知椭圆42 + y2 = 1及直线/ : y = x + m(1)m为何值时直线与椭圆有公共点;求(2)直线被椭圆截得的弦长的最大值并求此时l的方程。
