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1、东北师范大学附属中学网校（版权所有 不得复制）期数： 0512 SXG3 041学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松审稿老师：杨志勇 同步教学信息预 习 篇预习篇三十一 高三文科数学总复习二十六 平面向量的数量积【学法引导】平面向量的数量积是向量的核心内容，高考主要通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等基本关系，并在解答题中计算向量的夹角、长度等.平面向量的应用是高考命题的一个新动向.【应用举例】例1 已知|a|=4,|b|=5，当（1）a/b；（2）ab；（3）a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积.分析：由定义，a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a|b|cos叫做a与b
2、的数量积，据已知条件，确定其夹角即可.解：（1）a/b时，有两种情况，当a与b同向时，=0，则ab=|a|b|=20;当a与b反向时，=180，ab=|a|b|cos180=20.（2）当ab时，=90，则ab=0.（3）当a与b夹角为60时，ab=|a|b|cos60=10.【点拨解疑】掌握平面向量的数量积应注意概念的内涵，由其中夹角(0180)，当a/b时，有=0和=180两种情形可知非零向量a，b共线ab=|a|b|.例2 用向量方法证明三角形的三条高线交于一点.分析：设定一些向量为基本向量，通过垂直关系与平面向量的数量积即可证明.证明：如图，AD，BE，CF是ABC的三条高，设BE，C
3、F交于点H.方法一：设a,b，=h，则 ，化简得，AH与AD重合，AD，BE，CF相交于点H.方法二：设，则，AH与AD重合，AD，BE，CF相交于点H.【点拨解疑】用向量作工具证明几何问题时，总要先设一些向量作为基本向量.例3 设函数的图象为C，将C向左平移h个单位，再向下平移k个单位后得到函数的图象，求h，k的值.分析：注意平移方向确定向量a是关键.解：将C向左平移h个单位，再向下平移k个单位，即将C接a=(h,k)平移，因此，图象的解析式为，即，它与是同一个函数， 解得【点拨解疑】一般地，函数的图象按a=(h,k)平移后所得图象的解析式为，即.本例属于图象平移的逆向思维题，用待定系数法解
4、.例4 平面内有向量，点X为直线OP上的一个动点.（1）当取最小值，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求AXB的余弦值.分析：因为点X在直线OP上，向量与共线，可以得到关于坐标的一个关系式；再根据的最小值，求得.进而可利用数量积，求向量与夹角的余弦.解：（1）设，点X在OP上，故与共线，又=(2,1)，x2y=0, 即x=2y.=(2y，y)，又，同样，于是，即当且仅当y=2时，取得最小值8，此时=(4,2).（2）当=(4,2)时，有=(3,5),=(1,1),=,.【点拨解疑】本例考查平面向量数量积，向量夹角公式及最值，解题关键是转化为函数最值，得到=.例5 (2002年天津
5、高考题)已知两点M(1,0),N(1,0),且点P使成公差小于零的等差数列.（）点P的轨迹是什么曲线？（）若点P坐标为，为与的夹角，求tan.分析：本小题主要考查向量的数量积，二次曲线和等差数列等基础知识，以及综合分析和解决问题的能力.解：（）记P(x，y)，由M(1,0)，N(1,0)得，于是，是公差小于零的等差数列等价于即所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.（）点P的坐标为， ，,.【强化训练】1向量、满足条件+=0，|=|=|=1，求证：是等边三角形.2设两向量e1,e2，满足|e1|=2,|e2|=1，e1,e2的夹角为60，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.点击答案1证明：，同理，为等边三角形.2解：，设，时，与的夹角为，t的取值范围是.
