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1、第1届国际数学奥林匹克(IMO)1. 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.设(x+(2x-1)+(x-(2x-1)=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a) A=2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0,试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5. 在线段AB上任意选取
2、一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.) 求证 AF、BC相交于N点； （b.) 求证 不论点M如何选取 直线MN 都通过一定点 S； (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。6. 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届国际数学奥林匹克(IMO)1. 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于
3、N的各位数字的平方和。 2. 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - (1 + 2x)2 = 43 A. 并求出等号何时成立。3. 解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中n是一个自然数。 4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。 5. 作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = a,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是 b tan(a/2) = c 1/2.3. 正方体 ABCDABCD（ABCD、ABCD分别是上下底）
4、。一点 x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形BCCB的边界以方向BCCBB运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B开始运动。求线断XY的中点的轨迹。 4. 解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。 5. 在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。 6. 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为 r，求证这两个圆的圆心的距离是(R(R-2r)。 7. 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切； 反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。
5、第5届国际数学奥林匹克(IMO)1. 找出下列方程的所有实数根（其中 p是实参数）： (x2-p)+2(x2-1) = x. 2. 给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足 角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。 3. 在一个 n边形中，所有内角都相等，边长依次是 a1 = a2 = . = an，求证：所有边长都相等。4. 设 y是一个参数，试找出方程组 xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, . , 5)的所有解 x1, . , x5。 5. 求证 cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.6. 五个同学A、
6、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何？ 第6届国际数学奥林匹克(IMO)1. (a) 求所有正整数 n 使得 2n - 1 能被 7整除； (b) 求证不存在正整数 n 使得 2n + 1 能被 7 整除。2. 假设a、b、c是某三角形的
7、三边长，求证： a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) 2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有n条。 第8届国际数学奥林匹克(IMO)1. 在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。请问有多少学生只答对B？ 2. 三角形ABC，如果， BC + AC = tan C/2 (BC
8、 tan A + AC tan B).则该三角形为等腰三角形。3. 求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。 4. 对任何自然数 n以及满足 sin 2nx 不为 0 的实数x，求证： 1/sin 2x + 1/sin 4x + . + 1/sin 2nx = cot x - cot 2nx.5. ai （i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4） |ai - a1| x1 + |ai - a2| x2 + |ai - a3| x3 + |ai - a4| x4 = 1。 6. 在三角形ABC的边BC、CA、AB上分别任选三
9、内点K、L、M，求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。 第9届国际数学奥林匹克(IMO)1. 平行四边形ABCD，边长 AB = a, AD = 1, 角 BAD = A, 已知三角形ABD是一个锐角三角形，求证以A,B,C,D为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是 a cos A + 3 sin A. 2. 若四面体有且仅有一边大于1，求证其体积 1/8. 3. k, m, n 是自然数 且 m + k + 1 是一个大于 n+1 的素数，令cs = s(s+1)，求证 (cm+1 - ck)(cm+2 - ck) . (cm+n - ck)可被乘积 c1c2 . cn整除。 4. 任意两个锐角三角形 A0B0C0 和 A1B1C1 。考虑所有与三角形 A1B1C1相似且外接于三角形 A0B0C0 的所有三角形ABC（即BC边包含A0，CA边包含B0，AB边包含 C0），试构
