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1、第3讲 基本不等式1已知f(x)x2(x0)，则f(x)有()A最大值为0B最小值为0C最大值为4 D最小值为4解析：选C.因为x0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件3已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4C5 D6解析：选B.由题意知ab1，所以mb2b，na2a，所以mn2(ab)44.4(2016安徽省六校联考)若正实数x，y满足xy2，且M恒成立，则M的最大值为()A1 B2C3 D4解析：选A.因为正实数x，y满足xy2，所以xy1，所以1；又M恒成立，所以M1，即M的最大值为1.5(2016河北省五校联盟质量监测)设x，y满
2、足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最小值为()A. B.C. D4解析：选D.不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示由zaxby得yx，当z变化时，它表示经过可行域的一族平行直线，其斜率为，在y轴上的截距为，由图可知当直线经过点A(4，6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a6b12即2a3b6，所以4，当且仅当a，b1时等号成立6(2016江西省五校联考)设a0，b1，若ab2，则的最小值为()A32 B6C4 D2解析：选A.由题意可知ab2，ab11，所以(ab1)2132，当且仅当，即a2，b时取等号7已知a，b(0，)，若a
3、b1，则ab的最小值为_；若ab1，则ab的最大值为_解析：由基本不等式得ab22，当且仅当ab1时取到等号；ab，当且仅当ab时取到等号答案：28(2016江西省八所中学联考)已知点P(x，y)到A(0，4)和B(2，0)的距离相等，则2x4y的最小值为_解析：由题意得，点P在线段AB的中垂线上，则易得x2y3，所以2x4y224，当且仅当x2y时，等号成立，故2x4y的最小值为4.答案：49某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万
4、元解析：每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时，年平均利润最大，最大值为8万元答案：5810(2016厦门模拟)若当x3时，不等式ax恒成立，则a的取值范围是_解析：设f(x)x(x3)3，因为x3，所以x30，故f(x)2 323，当且仅当x3时等号成立，所以a的取值范围是(，23答案：(，2311已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，则12 .得xy64，当且仅当x16，y4时，等号成立所以xy的最小值为64.(2)由2x8yxy0，得1，则xy(xy)10102 18.当且
5、仅当x12且y6时等号成立，所以xy的最小值为18.1(2016抚州一模)已知正数a，b，c满足abab，abcabc，则c的取值范围是_解析：因为正数a，b满足abab，所以ab2()2202ab4.由abab，abcabc，得c1.因为ab4，所以ab13，所以0，所以10，y0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解：(1)因为x0，y0，所以由基本不等式，得2x5y2.因为2x5y20，所以220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以当x5，y2时，ulg xlg y有
6、最大值1.(2)因为x0，y0，所以.当且仅当时，等号成立由解得所以的最小值为.3如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆(1)若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解：设APx米，AQy米(1)则xy200，APQ的面积Sxysin 120xy.所以S2 500.当且仅当即xy100时取“”(2)由题意得100(x1.5y)20 000，即x1.5y200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2x2y22xycos 120x2y2xy(2001.5y)2y2(2001.5y)y1.75y2400y40 0001.75，当y时，PQ有最小值，此时x.
