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1、.二次根式的有关概念及性质一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； 1被开方数的因数是整数，因式是整式； 2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，.都不是最简二次根式，而，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数一样，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，
2、那么说这两个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a0)是一个非负数, 即0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=a0,b0。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方铲除以除式的算术平方根，即=a0,b0。 三、例题：例1.x为何值时，以下各式在实数X围内才有意义： 123 4+56+分析：这是一组考察二次根式根本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解
3、，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：1 6-x0, x6时原式有意义。 2 x20, x2+30, x取任意实数原式都有意义。 3 当x3且x-3时，原式有意义。 4 当-x时，原式有意义。 5 当x0且x1时，原式有意义。 6 x=2 当x=2时，原式有意义。 例2.写出以下各等式成立的条件： 1=-3x 2=-mn3=1+2a4= 5-=7 分析：此题考察算术平方根的概念及二次根式的性质。 解：1=|3x|=-3x, -3x0, 3x0, x0. 2=|mn|=-mn, mn0, 成立，隐含m0, m0且n0. 3=|2a+1|=1+2a 1+2a0,
4、 a-. 4由题意得 x=1. 5-=- =|x+5|-|2-x|=7 只有|x+5|=x+5, |2-x|=x-2时才成立， x2. 例3.化简以下各式： 1 2a2(m0) 3+|2-x|+2x3) 45(x-y)+6(y3, =|3-|=-3. 2 m0, 要使有意义，那么a0, a2=a2=a2=-=-a. 3 2x3, 原式=+|2-x|+ =|2-x|+|2-x|+|x-3| =x-2+x-2+3-x=x-1. 4=|3x-1|= 在这里我们分3x-10或3x-10 原式=(x-y)+ =+|x-y| =+y-x=-+y-x. 6 y0, 原式= =2|xy| =-2|x|y 当x
5、0时, 原式=-2xy, 当x0时, 原式=2xy。 7+ =+=|4-x|+|x+1| 假设|4-x|=0,那么x=4;假设|x+1|=0那么x=-1，那么此题需要将x的取值分成三段，即分x-1, -1x4, x4三段来进展讨论。 当x-1时，原式=4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x. 当-1x4时, 原式=4-x+x+1=5. 当x4时，原式=x-4+x+1=2x-3. 例4.把根号外的因式移至根号内： 122-53m(m0) 4x(x0)5a 分析：此题需逆用性质=a0,b0)只能将根号外的正因式移至根号内。 解：12=。 2-5=-=-。 3 m0, m=。 4x(x0) x=-=-。 5成立，隐含a0, a=-=-=-。 例5.1：y-1=,求：x+2y的值。 2假设+|x-2y|=0, 求：x2+y2的值。 分析：1观察条件，等式右边有两个根式，要使两个根式有意义，那么 x=2， y=1, 从而可求出x+2y的值。 1解：由可得： x=2, y=1 当x=2, y=1时 x+2y=2+21=4. 2解：+|x-2y|=0 两个非负数的和为零，那么只有每个非负数都为零， 当x=0, y=0时 x2+y2=0+0=0. . v
