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1、第1讲 导数的概念及运算1已知函数f(x)cos x，则f()f()ABC D解析：选C因为f(x)cos x(sin x)，所以f()f(1).2曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为()A(1e)xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10解析：选C由于ye，所以y|x1e1，故曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.3已知f(x)ax4bcos x7x2.若f(2 018)6，则f(2 018)()A6 B8C6 D8解析：选D.因为f(x)4ax3bsin x7.所以f(x)4a(x)3bsin(x)74ax
2、3bsin x7.所以f(x)f(x)14.又f(2 018)6，所以f(2 018)1468，故选D.4如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，其中g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1 B0C2 D4解析：选B由题图可得曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，即f(3).又因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，由图可知f(3)1，所以g(3)130.5若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2距离的最小值为()A1 BC D解析：选B因为定义域为(0，)，令y2x1，
3、解得x1，则在P(1，1)处的切线方程为xy0，所以两平行线间的距离为d.6(2018高考全国卷)曲线y2ln x在点(1，0)处的切线方程为_解析：由题意知，y，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率ky|x12，故所求切线方程为y02(x1)，即y2x2.答案：y2x27(2019南昌第一次模拟)设函数f(x)在(0，)内可导，其导函数为f(x)，且f(ln x)xln x，则f(1)_解析：因为f(ln x)xln x，所以f(x)xex，所以f(x)1ex，所以f(1)1e11e.答案：1e8(2017高考天津卷)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则
4、l在y轴上的截距为_解析：因为f(x)a，所以f(1)a1，又f(1)a，所以切线l的方程为ya(a1)(x1)，令x0，得y1.答案：19已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解：f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a.所以
5、a的取值范围为.10已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直，求切点坐标与切线的方程解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上因为f(x)(x3x16)3x21.所以f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.所以切线的方程为y13(x2)(6)，即y13x32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，所以直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016，又因为直线l过点(0，0)，所以0(3x1
6、)(x0)xx016，整理得，x8，所以x02，所以y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.所以直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)(3)因为切线与直线yx3垂直，所以切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f(x0)3x14，所以x01.所以或即切点坐标为(1，14)或(1，18)，切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.1(2019成都第二次诊断检测)若曲线yf(x)ln xax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是()A B，)C(0，) D0，)解析：选D.f(x)2ax(x0)，根据题意有f(x)0(x0)
7、恒成立，所以2ax210(x0)恒成立，即2a(x0)恒成立，所以a0，故实数a的取值范围为0，)故选D.2已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1 B3C4 D2解析：选D.因为f(x)，所以直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，所以切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.3(2019云南第一次统考)已知函数f(x)axln xb(a，bR)，若f(x)的图象在x1处的切线方程
8、为2xy0，则ab_解析：由题意，得f(x)aln xa，所以f(1)a，因为函数f(x)的图象在x1处的切线方程为2xy0，所以a2，又f(1)b，则21b0，所以b2，故ab4.答案：44设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_解析：yex，曲线yex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所以k1 k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1，1)答案：(1，1)5设有抛物线C：yx2x4，过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)
9、求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解：(1)由题意得，y2x.设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1，y1xx14，2x1k，联立得，x12，x22(舍去)所以k.(2)过P点作切线的垂线，其方程为y2x5.将代入抛物线方程得，x2x90.设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x29，所以x2，y24.所以Q点的坐标为.6已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1
10、)由已知得f(x)3ax26x6a，因为f(1)0，所以3a66a0，所以a2.(2)存在由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0，3x6x012)因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)，将(0，9)代入切线方程，解得x01.当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，所以yf(x)与yg(x)的公切线是y9.由f(x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10，所以yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.1
