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1、新编人教版精品教学资料第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法(第三课时)学习目标了解映射的概念及表示方法;会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射;感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用,提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识.合作学习一、设计问题,创设情境前面学习了函数的概念:一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一的数和它对应.(1)对于任意一个实数,在数轴上都有唯一的点与之对应.(2)班级里的每一位同学在教室都有唯一的坐位与之对应.(3)对于任意的三角形,都有唯一确定的面积与之对应.
2、那么这些对应又有什么特点呢?二、自主探索,尝试解决问题1:给出以下对应关系:这三个对应关系有什么共同特点?像问题中的对应我们称为映射,请给出映射的定义.“都有唯一”是什么意思?函数与映射有什么关系?三、信息交流,揭示规律分组讨论归纳的结论:四、运用规律,解决问题【例1】下列哪些对应是从集合A到集合B的映射?(1)A=P|P是数轴上的点,B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;(2)A=P|P是平面直角坐标系中的点,B=(x,y)|xR,yR,对应关系f:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;(3)A=三角形,B=x|x是圆,对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;(4)A=x|x是
3、新华中学的班级,B=x|x是新华中学的学生,对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.【例2】下列对应是不是从集合A到集合B的映射,为什么?(1)A=R,B=xR|x0,对应法则是“求平方”;(2)A=R,B=xR|x0,对应法则是“求平方”;(3)A=xR|x0,B=R,对应法则是“求平方根”;(4)A=平面内的圆,B=平面内的矩形,对应法则是“作圆的内接矩形”.【例3】设f:AB是A到B的一个映射,其中A=B=(x,y)|x,yR,f:(x,y)(x-y,x+y),求:(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素;(2)在A中什么元素与B中元素(-1,2)对应?五、变式演练,深化提高1.设映射
4、f:x-x2+2x是实数集R=M到实数集R=N的映射,若对于实数pN,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是()A.(1,+)B.1,+)C.(-,1)D.(-,12.设f,g都是由A到A的映射,其对应法则如下表(从上到下):表1映射f的对应法则原象1234象3421表2映射g的对应法则原象1234象4312则与fg(1)相同的是()A.gf(1)B.gf(2)C.gf(3)D.gf(4)3.设集合A=a,b,c,集合B=R,以下对应关系中,一定能建立集合A到集合B的映射的是()A.对集合A中的数开平方B.对集合A中的数取倒数C.对集合A中的数取算术平方根D.对集合A中的数立方六、反思小结,观
5、点提炼请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容?七、作业精选,巩固提高必做:课本P23练习4.选做:已知下列集合A到B的对应,请判断哪些是A到B的映射?并说明理由.(1)A=N,B=Z,对应法则:“取相反数”;(2)A=-1,0,2,B=-1,0,对应法则:“取倒数”;(3)A=1,2,3,4,5,B=R,对应法则:“求平方根”;(4)A=0,1,2,4,B=0,1,4,9,64,对应法则f:ab=(a-1)2;(5)A=N*,B=0,1,对应法则:除以2所得的余数.参考答案三、信息交流,揭示规律集合A,B均为非空集合,并且集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.一般地,设A,B是两个
6、非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射.记作“f:AB”.如果集合A中的元素x对应集合B中的元素y,那么集合A中的元素x叫做集合B中的元素y的原象,集合B中的元素y叫做集合A中的元素x的象.包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思,即是一对一或多对一.函数是特殊的映射,映射是函数的推广.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)是映射;(2)是映射;(3)是映射;(4)不是映射.新华中学的每个班级对应其班内的多个学生,是一对多,不符合映射的定义.
7、【例2】解:(1)是映射,因为A中的任何一个元素,在B中都能找到唯一的元素与之对应.(2)不是从集合A到集合B的映射,因为A中的元素0,在集合B中没有对应的元素.(3)不是从集合A到集合B的映射,因为任何正数的平方根都有两个值,即集合A中的任何元素,在集合B中都有两个元素与之对应.(4)不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中都有无穷多个元素与之对应.点评:本题主要考查映射的概念.给定两集合A,B及对应法则f,判断是否是从集合A到集合B的映射,主要利用映射的定义.用通俗的语言讲:AB的对应有“多对一”“一对一”“一对多”,前两种对应是A到B的映
8、射,而后一种不是A到B的映射.【例3】解:(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2),即(-3,1).(2)设A中元素(x,y)与B中元素(-1,2)对应,则解得所以A中元素(,)与B中元素(-1,2)对应.五、变式演练,深化提高1.解析:方法一:由于集合M,N都是数集,则映射f:x-x2+2x就是函数f(x)=-x2+2x,其定义域是M=R,则有值域Q=y|y1N=R.对于实数pN,在M中不存在原象,则实数p的取值范围是NQ=RQ=y|y1,即p的取值范围是(1,+);方法二:当p=0时,方程-x2+2x=0有解x=0,2,即在M中存在原象0和2,则p=0不合题意,排
9、除C,D两项;当p=1时,方程-x2+2x=1有解x=1,即在M中存在原象1,则p=1不合题意,排除B项.答案:A点评:本题主要考查映射的概念和函数的值域,以及综合应用知识解决问题的能力.解决本题的关键是转化思想的应用.把映射问题转化为函数的值域问题,进一步转化为求函数的值域在实数集中的补集.其转化的依据是对映射概念的理解以及对函数与映射关系的把握程度.2.解析:f(a)表示在对应法则f下a对应的象,g(a)表示在对应法则g下a对应的象.由表1和表2,得fg(1)=f(4)=1,gf(1)=g(3)=1,gf(2)=g(4)=2,gf(3)=g(2)=3,gf(4)=g(1)=4,则有fg(1)=gf(1)=1,故选A.答案:A3.解析:当a0时,对a开平方或取算术平方根均无意义,则A,C两项错;当a=0时,对a取倒数无意义,则B项错;由于对任何实数都能立方,并且其立方仅有一个,所以对集合A中的数立方能建立映射,故选D项.答案:D
