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1、高中数学高考综合复习专题三十九复数的概率与运算、知识网络二、高考考点1 .虚数单位工的定义与工的方募的周期性应用；2 .复数的四则运算，特别是除法法则下实化分母”的运算；3 .复数的分类，重点是复数为实数的充要条件以及复数是纯虚数的充要条件的应用;4 .复数的几何意义：在复平面内复数对应点的位置的判定。三、知识要点(一)复数的概念为了解决解方程的过程中负数不能开方的问题，人们引入了一个新数工，叫做虚数单位，并规定:(1)它的平方等于-1，即#=一1 ;(2)实数可以与它进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加，乘运算率仍然成立。在这样的规定下1 .定义：(1)形如a+bi(a, b6 R)的
2、数，叫做复数，通常用字母 z表示，即：z=a+bi(a , b6 R)将复数表示成 a+bi(a, b6 R)形式，叫做复数的代数形式，其中 a与b分别叫做复数 a+bi的实部与虚部，全体复数构 成的集合叫做复数集，一般用字母C表示。(2)分类：对于复数 z=a+bi(a , b6R),当b=0时，z=a是实数；当 b*0时，z=a+bi叫做虚数；其中当 a =0时且b*0时，叫做纯 虚数。(ft=叱复数虚数一纯虚数3三0)；非纯虚数(a * 0).(3)相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，则说这两个复数相等。即如果 a, b ,c d 6 R,那么 a + bi=c+ di 0 a=c,
3、b=d特例：a + bi =0 = a=0,b=0提醒：任意两个实数都可以比较大小，但对于任意两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，即如果所给两 个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小，而只能说相等或不相等。(4)几何意义注意到复数z=a + bi (a , b R)与有序实数对(a, b)之间存在的一一对应关系， 将复数z=a + bi (a , b 6 R)用点Z (a, b) 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。认知：在此规定之下，复数与点建立一一对应关系：Z (a, b)=*=*+氏(。出其中点Z是复数z的一个几何意义。实轴上
4、的点都表示实数；除了原点之外，虚轴上的点表示纯虚数(但要注意：虚数上的长度单位是1,而不是1 )(二)复数的运算1 .复数的加法与减法(1)法则：两个复数相加(减)就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)，即：(a+bi) (c+di)=(a C)+(b dd)i.(2)运算律：复数的加法满足交换律与结合律，即对任何 入用/步匚有叼十句=叼+ X (与+J = %*区+叼2 .复数的乘法与除法(1)乘法乘法法则规定复数的乘法按照如下法则进行：语. ,、：，“三I壬亡= 三芍才工汉（& 1 加）（e + di） = ac +85 + adi +由曲- be + ad） i即两个复数相乘，类似两
5、个多项式相乘，但要注意的是要在所得结果中把户 换成-1,并且把实部或虚部分别合并。运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何瓶03口？专0,有勺% =0= 4勺七。向&4工。=%乙+ J -（2）除法除法的定义：规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足8+击）（工十户）=abi（cdi H 0）的复数工+内叫做复数值 一上赊以复数r十出的商，l7 十 bi记作a+助-g+应）或口-操作程序两个复数相除，由于一般不能直接约分化简，因此使用的操作程序是1）将两个复数的商写成分式形式；2）将分子，分母都乘以分母的共知复数以实化分母”；3）将上述所得结果化简整理。+ 加 _ 十胡
6、）匕一曲）_ （ac + bd） + （bc- &冲即 一.： 一 yxic-bd be - ad , j. z=冲*万后）一共知复数1）定义：当两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共知复数。复数z的共知复数记作 ,即若z=a+bi（a,b 6 R）,则豆=a-bi.特例：任一实数的共知复数为自身:2）性质:|z 0设z=a+bi（a,b 6 R）,则有工也=2十七（此为除法运算时实数化分母的依据）；(三)数系的扩充1.数系的扩充过程反序观察数系的扩充过程，便得到人们熟悉的数系表实效复数有理数,整数分数自然数负整数无理数(无限不循环小翔虚数葩虚数 非纯虚数点评：数系表中实
7、与虚，整与分，有理与无理，纯与非纯，这一组组对偶既相互对立，又相互联系和相互依存，充 分展示了数学这一辩证的辅助工具和表现形式”，为我们运用辩证思维解决数学问题奠定了天然的基础。(四)复数集 C中的实系数一元二次方程(1)求根公式对于实系数一元二次方程 故十内+5口 ,当判别式 力二- 45r 0时，方程的求根公式为T -b J-1* - 4的尤K 24，即2a(2)认知当白 0时，实系数一元二次方程的两个根为两个共知虚数，即实系数一元二次方程的虚根成对。对于 0时的实系数一元二次方程，尽管求根公式有所变化，但韦达定理仍然适用。事实上，对于复系数一元二次方程，&失去判别作用，但韦达定理仍然适用
8、四、典例剖析- 3a-4 /虫 z =+ a - 5a 例1.当实数a分别取何值时，复数口 + 7(1)分别为实数，虚数，纯虚数，零；(2)在复平面内的对应点位于第四象限。解：利用复数的分类与几何意义g+i)(a -4)广 方 八一=+g+1)g 6)1复数 7(显然厘.一7 )(1)由(a+1) (a6)=0得a=-1或a=6 (此时实部有意义)，当a=- 1或a=6时，z为实数；由(a+1)(a 6)声 0得 aR 1 且 a# 6注意到这里a声一7二当a/ -7且a# - 1且a卢6时，z为虚数;Q 十 DQ-4)由 +解彳导 a=4,二当a=4时，z为纯虚数；r(a + l)(a-4)
9、 _由 -7 + 1)解彳导a=1,二当 a=- 1 时，z=0。3+1加 4) , Q， a +7(2)解不等式组得 4 M也 6 , 当戊64时复数z的对应点在复平面的第四象限。点评：必须特别注意所给复数存在的条件，本题中的a# -7例2.已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2兀-1)+一出二-1 ，求x与y解：注意到y是纯虚数，故设. “电邑艮且卜工),则代入已知等式得 (2x-l) + 38 + A - Aj-t整理得 1 ：l -22x 1 + 2)- i根据两复数相等的充要条件得,% = 43x =-由此解得工3x- -fy= 4s所求 2利用两复数相等的充要条件,点评：这里问题的实
10、质是在复数集中解方程，一般是从设出有关复数的代数形式切入，将所给问题转化为解实数集上的方程组，进而由此获得原方程的解。提醒：本例求解时易犯的错误：由已知等式得- y= -1错误原因：未从本质上把握复数的代数形式。例3.已知复数2tl3化+ ( - $走+8)?但W民工且E E I求k的值解：工 0 , ：. ze RA;3 -5 + S = 0Ct- 3) = 0由的表示形式得IV 一 父。女无一可 = 匕立且r ；工匕立且R二。例4.若方程工,.用2M =-1 -加 有实根，求实数 m的值，并求出此实根。解：设勺为该方程的实根，将其代入方程得君 + 制 + (2/) - -1 -由两复数相等
11、的定义得 L 口，消去m得犬”1 ,故得,一当 =1时得取=-2 ,原方程的实根为 工=1 ；当时得*=2 ,原方程的实根为 T 。点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根代入方程一一利用两复数相等的充要条件例5.设复数2，且 工”一应+8二1 + ,求实数a, b的值。,_2十3。-。_3-;_0-凯27)_一上 .1 1解： 2 十7 2M (),将二=1 一1代入了十公+力= L+i得(一户 + y - a) + = 1+j ,即一 .：. r a + h = 。? = 一3.由两复数相等的定义得1-9* 2).1解得Z- 4 .所求实数二二8三4 。点评：(1)条件
12、求值或化简，是先代入再化简为上，还是先化简再代入更好？需要在入手前细细斟酌，果断敲定;(2)在复数运算时，记住一些常用结论有益于提高运算效率.如(I i)2 = 2i, = i,-=;3 IT 等。区ij 6.设z为纯虚数，且满足 了三十上工iZ = ，求z.解法一：由题意设赋b6西白工口)，则代入已知条件得，? . 1.-又“口 ，故得匕=口乙=为解法二：由z为纯虚数得汇疗+iw躇=0 Q一炉+ 2法=0 2（-z+ 2?） = 0又乙声口 ，故得一工十位=口 ，即二=为= 0) , 、 例7:已知 17，复数的虚部减去它的实部的差为 工，求w2的值。a -i , a-I 口 +1Z = Z
13、+ Z = + 3 =解：由 1 T得 1 t IT口侬+ D - S+1） 向（说* D- g +0 （一）2白 +1+1）.2- + -i -十 Uc_4 依题意得-又值,，故得Q=?.- -h? = + 3S /. ip3 =-+ 9iZ4例8：已知复数z满足,豆+ 2匕3+打” *),且z的对应点在第二象限，求a的取值范围解：设2=工，冲。；尸三百盘旧二工-W ,.s 2 = (x+ M)a -解)二尸 + y 氏” o- 3 + d - z - z li + (3 2 山？，+ 2万=4 +幻gw*)徨 五 =2.M对应点在第二象限，故有口 mOK =2 _3- z- z y 又由得L 2 由得44,即 4zG+(3-e刁.一/！.-.二:！： 4- . 于是由，得up 12.再注意到a0,故得-2门费9即所求a的取值范围为招点评：为利用 了它43导出关于a的不等式，再次利用式：由式中两复数相等切入，导出关于”工 与a的关系式：4E=一+(3此为解决这一问题的关键。此外，这里对于工=宾中川(兀y三司 有选择的局部代入以及乙二与炉* F 的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴。例9.已知虚数z满足+1
