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1、例如图，已知0O的直径AB和弦CD相交于点E,AE=6cm,EB=2cm,ZBED=30,求CD的长.分析要充分利用条件ZBED=30,构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形,通过解直角三角形求得未知量.解过O作OF丄CD于F,连结CO,*.*AE=6cm,EB=2cm,AB=8cmB1.0A=AB=4cm,0E=AE-A0=2cm,2在RtAOEB中，TZCEA=ZBED=30,1OF=OE=lcm.2在RtCFO中，OF=1cm,0C=0A=4cm,.CF=OC2-OF215cm.又VOF丄CD.CD=2CF=215cm.答：CD的长为215cm.说明：此题是利用垂径定理的计算问题
2、.在求有关弦心距、弦长和半径等问题时，常常利用弦心距和半径构成直角三角形求解；另外此题若直接利用以后的“相交弦定理”来解，较为困难.例已知：AABC内接于OO,AB=AC，半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长.分析：此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的图形，此题有两种情况；利用条件构造垂径定理的基本图形解题解：分两种情况：(1)如图，过A作AD丄BC于D,ODBC图又VAB=AC,.点O在AD上，.OD=3cm.连结OB,在RtODB中，OB=5cm,OD=3cm，由勾股定理，得OB2BD2,OD2,.BD=OB2OD2=5232=4在RtADB中，AD=AO+OD=5
3、+3=8cm，由勾股定理，得AB2AD2+BD2,.AB=AD2+BD2=42+82=45(cm)(2)如图，同理可得：AB=25(cm).说明：此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形分析图形数形结合一一解决问题；作辅助线的能力.例在直径为50cm的OO中，弦AB=40cm,弦CD=48cm,且ABCD,求：AB与CD之间的距离.DD分析：此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧，也可能在在圆心的两侧，即有两解.解：（略，8cm,22cm）说明：此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形分析图形数形结合解决问题.例已知：如图，AB是。O的直径
4、，CD是弦，AE丄CD于E,BF丄CD于F.求证：CE=DF；OE=OF分析：本题的关键是作OH丄CD,构造垂径定理的基本图形解题,另外还用到平行线等分线段定理等.证明：（一）过O作OH丄CD于H,VAE丄CD,BF丄CD.AEOHBF.AO=BO.EH=HF.OH丄CD且O为圆心.CH=HD.CHEH=HDHF即CE=DFEH=HF,OH丄EF/.OH是EF的中垂线.OE=OF.证明（二）延长EO交BF于G,用三角形全等和直角三角形斜边中线证明OE=OF.说明：（1）此题展示构造垂径定理的基本图形解题的基本方法；（2）让几何动起来引申：让弦CD动起来，与直径AB不相交，让学生在运动中观察、发
5、现问题,培养学生的探究能力.D,求证：1AD=BF.2分析：（方法）由于A是胡的中点，连结OA可构造垂径定理的基F例如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是朋的中点，AD丄BC于E11本图形，BE=-BF,ADO9ABEO,得AD=BE=BF.22（方法二）如图，补圆，延长AD交0O于E,造垂径定理的基本图形，问题即可解决.证明：（略）说明：此题是垂径定理的应用为过程，培养学生的发散思维.典型例题六例如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB,交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a,b.求证：AD，BD二a2-b.证明：作OE丄AB，垂足为E,连OA,OC,则OA=a,OC=b.
6、在RtAOE中，AE2=OA2一OE.在RtCOE中，CE2=OC2一OE2.,AE2一CE2=（OA2-OE2）=OA2-OC2=a2一b2,即（AE+CE）（AE一CE）=a2一b2.由垂径定理，得AE=BE,CE=DE,.AE+CE=AE+DE=AD,AE-CE=BE-DE=BD,.ADBD=a2一b2.说明：本题主要运用勾股定理和垂径定理证题，垂径定理是圆中很重要的性质，垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件J(l)直线过圆心，(2) 直线和弦垂直,结论(3) 直线平分弦，(4) 直线平分弦所对的劣弧，、(5)直线平分弦所对的优弧。在(1)、(2)、(3)、(4)、(5)中，任意两个成
7、立，都可以推出另外三个都成立，这就是垂径定理的推论.典型例题七例已知：在。O中,弦AB=12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：ZAOB的度数和圆的半径.分析：本例的关键在于正确理解什么是O点到AB的距离.解作OE丄AB，垂足为E，则OE的长为O点到AB的距离，如图.11,OEAB=_x126(cm)22由垂径定理知：AEBE6cm，AAOE、ABOE为等腰直角三角形.,AOB90由AAOE是等腰直角三角形.,.OA62,AE6即OO的半径为OA62cm.说明：作出弦(AB)的弦心距(OE)，构成垂径定理的基本图形是解决本题的关键.典型例题八CEAFoHB例如图，已知在OO中，弦ABCD
8、,且AB丄CD,垂足为H,OE丄AB于E,OF丄CD于F.(1) 求证：四边形OEHF是，连结OA利用勾股定理计算或证三(2) 若CH3,DH9，求圆心O至I弦AB和分析：由条件易知四边形OEHF是角形全等，可得OEOF.证明(1)AB丄CD于H,OE丄AB于E：四边形OEHF为矩形.连结OA、OD,则OAOD.1在OO中，由垂径定理知，AEAB,厶1DFCD,又ABCD.2,AEDFAAOE竺ADOF.OE=OF.,四边形OEHF为正方形.(2)CH3,DH9,.CD=12又OF丄CD1,CF=CD6（由垂径定理）又CH3,.FHCF-CH6-33,OEOF3，圆心O到弦AB和弦CD的距离都
9、等于3.说明：本例（1）证明OEOF,还可以利用勾股定理计算，OEOA-AE,OFODDF，OAOD,AEDF,OEOF.典型例题九已知：如图，以O为圆心，AOB10，弓形高ND4厘米，矩形EFGH的两顶点E、F在弦AB上,H、G在上，且EF4HE，求HE的长.AB解连结AD、OG.11AODAOBx10。60，OAOD,AAOD为等边三角形.OD丄ANNOND4厘米，ODOG8厘米设HEx，则MGx.MO（x+4）厘米.在RtAOMG中，由MG+OMOG得：(X+4)2+(x)28.1解得：x,x4(舍去)151，HE的长为5厘米.说明：借助几何图形的性质，找出等量关系，列出方程求解，这是解
10、决几何计算题的常用方法.典型例题十例（天津市，1993）已知：如图，AB是。O的直径，CD是弦，AE丄CD于E,BF丄CD于F.求证：EC二FD.证明：过O作OP丄EF于P.AE丄EF,BF丄EF,AEOPBF.又丁OA二OB,:.EP=FP./O是圆心，OP丄CDCP=DP.EPCP二FPDP,即EC二FD.说明：本题考查垂径定理的应用，解题关键是正确作出辅助典型例题十一例如图，过。O的直径AB上两点M、N,分别作弦C求证：（1）頑、;=BN-分析：因为CD/EF，由圆的对称性可知*为AC二BF，所以纭：-，所以可证得丽、跖证明：（1）CD/EF_又AC二BF，.矗-:BFAB为。0的直径故
11、.从而得-AT）b（2）连结AD、BE.由（1）得AADCABEF.故C=F.又CD/EF，得AMC=ZBNF.而AC=BF，AAMCABNF.AM=BN.典型例题十二例已知：0O的半径OA二1，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC的度数.解：如图所示，作OD丄AB,OE丄AC，则AD=OA1,在RtAODA中,cosZOAD2ZOAD45。.在RtAOAE中,cosZOAE=ZOAE=30。.2当AC、AB位于OA两侧时，有ZBAC=ZOAB+ZOAE=75，；当AC、AB位于OA同侧时，有ZBAC=ZOAB-ZOAE=15，.说明：有关弦长，弦心距的问题，往往需要作垂直于弦的直径(半径或
12、弦心距)，利用垂径定理平分弦以及半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来达到求解的目的.典型例题十三例在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是cm.DB=262-(2616)2=24.由垂径定理得AB2DB48.故应填48.说明：本题主要考查垂径定理.易错点是忘记油面宽度AB是DB的2倍.选择题1、下列命题中，正确的是()(A) 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的弧;(B) 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；(C) 平分一条弧的直径垂直平分这条弧所对应的弦;(D) 在0O中，AB，CD是弦，也=DE，则ABCD.2.
13、下列命题中错误的有()（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A.1个B.2个C.3个D.4个3下面四个命题中正确的一个是（）A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径B. 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C. 弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D. 在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心4. 下列命题中，正确的是（）.A. 过弦的中点的直线平分弦所对的弧B. 过弦的中点的直线必过圆心C. 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D. 弦的垂线平分弦所对的弧5、如图，。0的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）（A）3OM5（B）4OM5（C）3OM5（D）4OM56. 如图，如果AB为。O直径，弦CD丄AB,垂足为E，那么下列结论中错误的是（）A.CE=DEB.爪厂七门C.BAC=ZBADD.ACAD7. 过。O内一点M的最长弦为4cm，最短的弦长为2cm，则OM的长为（）A.3cmB.2cmC.1cmD.3cm8. 如图，AB是。O直径，CD是。O的弦，AB丄CD于E，则图中不大于半圆的相等弧有（）对。A.1对B.2对9.如图，00的直径CD丄
