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1、.第四讲全等三角形与旋转问题中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质,会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛基本知识把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度,得到图形,这样的由图形到变换叫做旋转变换,点叫做旋转中心,叫做旋转角,叫做的象；叫做的原象,无论是什么图形,在旋转变换下,象与原象是全等形很明显,旋转变换具有以下基本性质：旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等；对应直线的交角等于旋转角旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上,其功能还是把分散的条件盯对集中
2、,以便于诸条件的综合与推演重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定,全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础,也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点,特别是几种判定方法,尤其是当在直角三角形中时,HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论,要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚,哪几个是条件,决定哪个结论,如何用数学符号表示,即书写格式,都要在讲练中反复强化例题精讲【例1】 如图,有四个图案,它们绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图案相互重合,其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同
3、,它是【解析】 A【例2】 如图,同学们曾玩过万花筒,它是由三块等宽等长的玻璃片围成的,其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心A顺时针旋转60得到B顺时针旋转120得到C逆时针旋转60得到D逆时针旋转120得到【解析】 D【例3】 已知：如图,点为线段上一点,、是等边三角形求证：【解析】 、是等边三角形,点评此题放在例题之前回忆,此题是旋转中的基本图形【例4】 如图,C是线段BD上一点,分别以BC、CD为边在BD同侧作等边ABC和等边CDE,AD交CE于F,BE交AC于G,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有A1对 B2对 C3对 D4对【解析】 C补充已知：如图,点为线段上一
4、点,、是等边三角形求证：平分【解析】 过点作于,于,由,利用进而再证,可得到,故平分补充如图,点为线段上一点,、是等边三角形请你证明：；平分【解析】 此图是旋转中的基本图形其中蕴含了许多等量关系与三角形各内角相等,及平行线所形成的内错角及同位角相等；全等三角形推导出来的对应角相等推到而得的：；,；,；,；为等边三角形、是等边三角形,由易推得,所以,又,进而可得为等边三角形易得过点作于,于,由,利用进而再证,可得,故平分【例5】 如图,三点共线,且与是等边三角形,连结,分别交,于,点求证：【解析】 与都是等边三角形,及,三点共线,在与中,在与中,【例6】 如图,四边形、都是正方形,连接、求证：【
5、解析】 在和中补充如下图,在线段同侧作两个等边三角形和,点与点分别是线段和的中点,则是A钝角三角形B直角三角形C等边三角形 D非等腰三角形【解析】 易得所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的又为线段中点,为线段中点,故就是绕着点顺时针旋转而得所以且,故是等边三角形,选C【例7】 如图,等边三角形与等边共顶点于点求证：【解析】 是等边三角形,同理,在与中,【例8】 如图,点为线段上一点,、是等边三角形,是中点,是中点,求证：是等边三角形【解析】 ,又、分别是、的中点,是等边三角形【例9】 如图,是等边内的一点,且,问的度数是否一定,若一定,求它的度数；若不一定,说明理由【解析】 连接,将条件,这
6、两个条件,易得,得,由,知,故的度数是定值【例10】 如图,等腰直角三角形中,为中点,求证：为定值【解析】 连结由上可知,而,补充如图,正方形绕正方形中点旋转,其交点为、,求证：【解析】 正方形中,而,【例11】 如图,已知点是正方形的边上一点,点是的延长线上一点,且 求证：【解析】 证明：因为四边形是正方形,所以,因为,所以,所以 ,故,故补充如图所示,在四边形中,于,若四边形的面积是16,求的长【解析】 如图,过点作,延长交于点,容易证得正方形的面积等于四边形面积为,【例12】 在等腰的斜边上取两点、,使,记,则以、为边长的三角形的形状是A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随、的变化
7、而变化【解析】 如图,将绕点顺时针旋转,得,连结,则,又易得,在中,有,故应选巩固如图,正方形的边长为,点在线段上运动,平分交边于点求证：设,与的面积和是否存在最大值？若存在,求出此时的值及若不存在,请说明理由【解析】 证明： 如图,延长至点,使得,连结因为是正方形,所以在和中,又 是的平分线,即,即,得证,由知,所以在中,由上式可知,当达到最大值时,最大而,所以,当时,最大值为【例13】 、分别是正方形的边、上的点,且,为垂足,求证：【解析】 延长至,使,连结,易证,再证,全等三角形的对应高相等,则有【例14】 请阅读下列材料：已知：如图1在中,点、分别为线段上两动点,若探究线段、三条线段之
8、间的数量关系小明的思路是：把绕点顺时针旋转,得到,连结,使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想、三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明； 当动点在线段上,动点运动在线段延长线上时,如图2,其它条件不变,中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明【解析】 证明：根据绕点顺时针旋转得到,在中即又即 关系式仍然成立证明：将沿直线对折,得,连,又,又,在中即补充如图,在四边形ABCD中,ABAD,BD,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF=BAD求证：EFBEFD; 如图,在四边形ABCD中,ABAD,B+D,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF=BAD
9、,中的结论是否仍然成立？不用证明【解析】 证明：延长EB到G,使BG=DF,联结AG ABGABC=D, ABAD,AGAF, GAE=EAF又AEAE,EGEF EG=BE+BGEF= BEFD 中的结论仍然成立 【例15】 如图所示,是边长为的正三角形,是顶角为的等腰三角形,以为顶点作一个的,点、分别在、上,求的周长【解析】 如图所示,延长到使在与中,因为,所以,故因为,所以又因为,所以在与中,所以,则,所以的周长为【例16】 在等边的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为外一点,且,探究：当点M,N分别爱直线AB,AC上移动时,BM,NC,MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L
10、的关系如图,当点M,N在边AB,AC上,且DM=DN时,BM,NC,MN之间的数量关系式_；此时=_如图,当点M,N在边AB,AC上,且时,猜想问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；如图,当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时,若AN=x,则Q=_【解析】 BM+NC=MN;猜想：仍然成立证明：如图,延长AC至E,使CE=BM,连接DE由是等边三角形,在与中的周长=而等边的周长【例17】 平面上三个正三角形,两两共只有一个顶点,求证：与平分【解析】 连接与,在与中在与中为平行四边形,互相平分【例18】 已知：如图,、都是等边三角形,且、共线,求证：也是等边三角形【解析】 连结,所以,
11、并且与的夹角为,延长交于,则又因为,所以所以,【例19】 如图,在外面作正方形与,为的高,其反向延长线交于,求证：;【解析】 证明;作,先证,再证补充以ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG,求证：CE=BG,且CEBG【解析】 易证,故,又,故【例20】 如图所示,在五边形中,求此五边形的面积【解析】 我们马上就会想到连接、,因为其中有两个直角三角形,但又发现直接求各三角形的面积并不容易,至此思路中断我们回到已知条件中去,注意到,这一条件应当如何利用？联想到在证明线段相等时我们常用的截长补短法,那么可否把拼接到的一端且使呢？据此,连接,则发现,且,是底、高各为的三角形,其面积为,而与全等,从而可知此五边形的面积为【例21】 在五边形中,已知,连接求证：平分【解析】 连接由于,我们以为中心,将逆时针旋转到的位置因,所以点与点重合,而,所以、在一条直线上,点旋转后落在点的位置,且,所以在与中,因为,故,因此,即平分家庭作业【习题1】 如图,已知和都是等边三角形,、在一条直线上,试说明与相等的理由【解析】 ,又【习题2】 已知：如图,点是正方形的边上任意一点,过点作交的延长线于点求证：【解析】 在和中【习题3】 在梯形中,是中点,试判断与的位置关系,并写出推理过程【解析】 延长交延长线于点是中点,在和中,又,在和中,【习题4】 已知：如图,点为线段上
