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1、平面几何图形的性质在立体几何中的应用学生用书P140三角形中位线定理的应用 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为A1C1，A1B的中点设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l，求证：MNl.【证明】 法一：(线面平行的判定和性质方法)连接BC1，在A1BC1中，点M，N分别为A1C1，A1B的中点，所以MNC1B，又MN平面BCC1B1，C1B平面BCC1B1，所以MN平面BCC1B1，又因为MN平面MNB1，平面MNB1平面BCC1B1l，所以MNl.法二：(面面平行的判定和性质方法)取A1B1的中点P，连接MP，NP.在A1B1C1中，点M，P分别为A1C1，A1B1的中点，
2、所以MPC1B1，又因为MP平面BCC1B1，C1B1平面BCC1B1，所以MP平面BCC1B1，同理可证NP平面BCC1B1，又因为MPNPP，MP平面MNP，NP平面MNP，所以平面MNP平面BCC1B1，又因为MN平面MNP所以MN平面BCC1B1.又因为MN平面MNB1，平面MNB1平面BCC1B1l，所以MNl. 三角形的中位线定理是立体几何中证明线线平行最常用的一个定理，通过找中点，连接中点得出三角形的中位线，达到证明线线平行的目的，进一步实现证明线面平行、面面平行的目的 平行四边形的判定及性质的应用 如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，点G，H分别为AC，BC的中点求证：B
3、D平面FGH.【证明】 如图，连接DG，CD，设CDFGO，连接OH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，点G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，所以点O为CD的中点又因为点H为BC的中点，所以OHBD.又因为OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.立体几何中通常是先证明一个四边形的一组对边平行且相等，判定该四边形为平行四边形，则该四边形的另一组对边平行，也经常运用平行四边形的对角线互相平分，判定线段的中点 等腰三角形、正三角形性质的应用 (2017高考全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知AC
4、D是直角三角形，ABBD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比【解】(1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO.因为ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.从而AC平面DOB，故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.由题设知AEC为直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面
5、体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.等腰三角形底边上的中线垂直底边，在立体几何中常用该结论得出线线垂直 菱形性质的应用 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C.(1)证明：B1CAB；(2)若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高【解】(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1.又AO平面BB1C1C，所以B1CAO，故B1C平面ABO.由于AB平面ABO，故B1CAB.(2)作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足
6、为H.由于BCAO，BCOD，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABCA1B1C1的高为.矩形、正方形性质的应用 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，E，F分别为PC，BD的中点(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PDC.【证明】 (1)连接ACBDF，四边形ABCD为正方形，F为AC中点，E为P
7、C中点所以在CPA中，EFPA，且PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.(2)因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，ABCD为正方形，CDAD，CD平面ABCD，所以CD平面PAD.所以CDPA.又PAPDAD，所以PAD是等腰直角三角形，且APD，即PAPD，CDPDD，且CD，PD平面PDC，所以PA平面PDC，又PA平面PAB，所以平面PAB平面PDC.矩形的四个内角均为直角，两组对边分别平行，对角线互相平分，在正方形中对角线互相垂直平分，利用这些性质可以得出垂直关系、平行关系、中点等需要的结论 梯形性质的应用 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面
8、互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点(1)求证：BM平面ADEF；(2)求证：平面BDE平面BEC.【证明】 (1)取DE中点N，连接MN，AN.在EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MNCD，且MNCD.由已知ABCD，ABCD，所以MNAB，且MNAB.所以四边形ABMN为平行四边形，所以BMAN.又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM平面ADEF.(2)在正方形ADEF中，EDAD.又因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，所以ED平面ABCD，所以EDBC.在直角梯形ABCD中，ABAD2，CD4，可得BC2.在B
9、CD中，BDBC2，CD4，所以BCBD.所以BC平面BDE，又因为BC平面BCE，所以平面BDE平面BEC.梯形只有一组对边平行，在立体几何中经常出现两个特殊的梯形(1)直角梯形，其中梯形的上底等于直角腰长，等于下底长度的二分之一，该梯形的一条对角线垂直非直角腰；(2)等腰梯形，上底等于下底的二分之一，底角等于60，该类梯形的两条对角线垂直对应的腰 相似(全等)三角形性质的应用 如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ACABSA2，ACAB，E是BC的中点，F在SE上，且SF2FE.求证：AF平面SBC.【证明】 由ACABSA2，ACAB，E是BC的中点，得AE.因为SA底面ABC，所
10、以SAAE.在RtSAE中，SE，所以EFSE.因此AE2EFSE，又因为AEFAES，所以EFAEAS，则AFESAE90，即AFSE.因为SA底面ABC，所以SABC，又BCAE，所以BCSAE，则BCAF.又SEBCE，所以AF平面SBC.利用相似三角形、全等三角形的判定定理和性质定理，证明角的相等，求出线段长度之间的数量关系等 圆的性质的应用 如图，E是以AB为直径的半圆上异于A，B的一点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB2AD2.(1)求证：EAEC；(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F，EF1，求三棱锥EADF的体积【解】(1)证明：因为矩形ABCD平面AB
11、E，CB平面ABCD且CBAB，所以CB平面ABE，从而AEBC，又因为在半圆ABE中，AB为直径，所以AEB90，即AEBE，由知AE平面BCE，故有EAEC.(2)因为ABCD，所以AB平面DCE.又因为平面DCE平面ABEEF，所以ABEF，在等腰梯形ABEF中，EF1，AF1，AFE120，所以SAEFEFAFsin 120，VEADFVDAEFSAEFAD1.在与圆柱、圆锥、球等旋转有关的问题中经常用到圆的知识，主要有：(1)半圆上的圆周角是直角；(2)同弧上的圆心角为圆周角的二倍 勾股定理的应用 (2016高考全国卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD
12、，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥DABCFE的体积【解】 (1)证明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.由此得EFHD，EFHD，所以ACHD.(2)由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4.所以OH1，DHDH3.于是OD2OH2(2)2129DH2，故ODOH.由(1)知，ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面BHD，于是ACOD.又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由得EF.五边形ABCFE的面积S683.所以五棱锥DABCFE的体积V2. 2 / 2
