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1、 I题源探究黄金母题【例1】已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程【解析】将圆的方程写成标准形式，得，圆心的坐标是，半径设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，解得或，直线的方程为或，即或II考场精彩真题回放【例2】【全国新课标3卷理】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则_【答案】4【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为由平面几何知识知在梯形中，【例3】【重庆高考理】已知直线：（）是圆C：的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（）A2BC6D【答案】C【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，即，
2、故选C.【例4】【20xx湖北高考卷】直线：和：将单位圆：分成长度相等的四段弧，则 .【答案】2【例5】【全国新课标卷理】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线1，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）因为，故，所以，故又圆的标准方程为，从而，所以由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为（）（2）当与轴不垂直时，设的方程为，.由，得，则，所以过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以，故四边形的面积；可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为当
3、与轴垂直时，其方程为，四边形的面积为12综上，四边形面积的取值范围为【例6】【20xx湖南高考卷】若直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则=_【答案】2【解析】如图直线与圆 交于两点，为坐标原点，且，则圆心到直线的距离为 ，.【例7】【20xx江苏高考卷】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】圆的标准方程为，所以圆心，半径为5（1）由圆心在直线上，可设.因为与轴相切，与圆外切，
4、所以，于是圆的半径为，从而，解得.因此，圆的标准方程为.（2）因为直线，所以直线的斜率为.设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离 因为 而 所以，解得或.故直线的方程为或.（3）设 因为,所以 因为点在圆上，所以 .将代入，得.于是点既在圆上，又在圆上，从而圆与圆没有公共点，所以 解得，所以实数的取值范围是. 精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第127页例2【母题评析】本题根据直线与圆相交所得弦长求相关参数直线方程，体现逆向思维的应用，方程思想的应用【思路方法】本题解答时主要是利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦长之间的勾股关系，通过建立方程来解决【命题意图】本类题主要考查直线与圆相交所得圆的
5、弦长问题，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、数形结合的能力，同时方程思想的应用【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆方程判断直线与圆的位置关系，同时考查通过数形结合思想、充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长问题在考查形式上，主要要以选择题、填空题为主，也有时会出现在解答题中，性中档题【难点中心】（1）根据条件利用点到直线的距离求得圆心距；（2）根据圆的半径、弦长、圆心距建立方程III理论基础解题原理考点一几何法判断直线与圆的位置关系判断圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系图形量的关系位置关系相离相切相交交点个数012考点二代数法判断直线与圆C的方程组解的个数若有两组实数解，则直线与圆
6、相交；若有一组实数解，则直线与圆相切；若无实数解，则直线与圆相离IV题型攻略深度挖掘【考试方向】高考对本部分知识的考查主要以选择题、填空题的形式出现，主要体现的思想方法有待定系数法，化归与转化的思想、函数与方程思想对直线与圆的位置关系的考虑主要考查直线与圆相切问题，且以求相关的参数为主，其次考查直线与圆相交所得弦的中点问题和弦长问题，有时也兼顾考查动点的轨迹【技能方法】因为从圆的定义可以看到圆的半径圆的两个基本要素之一，其大小与点到直线的距离相关，而直线与圆的位置关系也是与圆心到直线的距离相关，因此处理直线与圆的位置关系（相切、相交涉及的弦长等）主要是围绕圆心到直线的距离来处理，【易错指导】（
7、1）过圆外一点与圆相切的直线有两条，但解答时易忽视斜率不存在的哪一条；（2）涉及到与圆方程相关的最值问题时，在建立函数关系后忽视圆方程中变量的取值而致错；（3）求与圆相关的轨迹问题时，常常会忽视变量的限制条件，造成多解V举一反三触类旁通考向1直线与圆位置关系判断【例8】【20xx陕西高三高考全真四】直线与圆的位置关系是（）A相切B相离C相交D与的取值有关【答案】C【方法点拨】判断直线与圆的位置关系三法：（1）几何法：设圆心到直线的距离为，则与相交；与相切；与相离；（2）代数法：将直线方程代入圆的方程可得到关于或的一元二次方程，则与相交；与相切；与相离；（3）如果直线上存在的特殊点在圆内，则直线
8、与圆必相交【跟踪练习】【20xx贵州遵义市高三下联考】直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）ABCD【答案】A【解析】圆标准方程为，这是充要条件，A是充分不必要条件，故选A考向2直线与圆相切问题【例9】【广东高考理科】平行于直线且与圆相切的直线的方程是（）A或B或C或D或【答案】A【解析】设所求直线方程为，则所以，所以，所以所求直线方程为或，故选A【例10】【20xx高考山东】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A或B 或C或D或【答案】D【题型归纳】直线与圆相切问题主要有两种题型：（1）根据条件判断直线与圆的位置关系；（2）根据直线与圆相切条件求相
9、关的参数问题这两种题型的解答都必须用 “圆心到直线的距离等于半径”；（3）求切线长，主要利用勾股定理，或利用结论：过与圆：相切于点的切线长【跟踪练习】【山东高考】过点作圆的两条切线，切点分别为，则 _【答案】【解析】连接，在直角三角形中，所以，故考向3直线与圆相交弦的中点问题【例11】【黑龙江省哈尔滨六中高三下四模】直线与圆（）交于两点，且弦的中点为，则直线的方程是（）ABCD【答案】D【解析】圆化为标准方程为，圆心坐标为，因为弦的中点，所以，直线的斜率为，直线的方程为，故选B【方法归纳】求解直线与圆相交所得弦的中点问题主要题型：（1）已知弦中点求直线方程或圆的方程；（2）已知直线斜率或过定点
10、的直线与圆相交所得弦的中点的轨迹方程求解此类问题主要是利用垂径定理，即圆心与中点所在直线与弦垂直【跟踪练习】【20xx江西上高县二中第七次月考】已知圆的一条直径通过直线被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（）ABCD 【答案】D考向4直线与圆相交所得弦长问题【例12】【20xx全国卷】设直线与圆：相交于两点，若，则圆的面积为_【答案】【解析】圆，即，圆心为，由到直线的距离为，所以由得所以圆的面积为【方法点拨】直线与圆相交所得弦长问题主要有两种题型：(1)求直线与圆相交弦的长；(2)已知相交弦长求直线方程与圆方程及相关的参数解答此类问题一般根据22(半弦长)2求解【跟踪练习】【20xx福建
11、高考卷】直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件 既不充分又不必要条件【答案】A考向5直线与圆相位置关系中的轨迹问题【例13】【20xx山西长治二中等五校上期联考】由动点向圆引两条切线，切点分别为，则动点的轨迹方程为（）ABCD【答案】A【解析】数形结合，由平面几何可知ABP是等边三角形，则的轨迹方程为，故选A【方法总结】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法
12、：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等【跟踪练习】如图，在直角坐标系中，是半圆：的直径，是半圆上任一点，延长到点，使，当点从点运动到点时，动点的轨迹的长度是（）ABCD【答案】B【解析】设半圆与轴的交点为，连结、则又，于是，因为，因此，故动点的轨迹是以为圆心，为半径的半圆，其长度为，故选B考向6关于特殊点与直线的对称问题【例14】【20xx成都市高中毕业班摸底】已知圆上存在两点关于直线对称，经过点作圆的切线，切点为，则_.【答案】【方法点睛】圆的对称性主要体现在两个方面：(1)圆的自对称性：圆心为对称中心，任一条直径所在直线都为对称轴；(2)圆关于点或直线的对称性解答时主要从两个
13、方面进行考虑：一是转化归结为点的对称，利用中点坐标公式；二是根据轴对称的垂直关系，利用其斜率关系【跟踪练习】【20xx海南中学考前十一模拟】圆关于直线对称的圆的方程为（）A BC D【答案】A【解析】因为圆心关于直线的对称点为，所以圆关于直线对称的圆的方程为，故选A考向7直线与圆位置关系中的最值问题【例15】【20xx河南豫北重点中学高三下二联】已知直线和圆相交于两点，当弦最短时，的值为（）AB-6C6D【答案】A【解析】化为，故直线过定点，这个点在圆内，又圆心为，故当弦最短时，直线的斜率为，即，故选A【方法归纳】求与圆相关的最值问题，通常利用两种方法：（1）将已知条件与所求问题充分展示在图形上，利用图形的直观性来解决；（2）根据条件关于得到某一个几何量的函数，通过求函数的最值来处理求直线上的点与圆上的点的最大与最小距离，由于两点分别是直线和圆上的动点，因此要用代数知识求解难度较大，一般采用数形结合较为简单一般地，圆上的点到直线最大距离为，最小距离（为圆心到直线的距离，为圆的半径）【跟踪练习】【山东省实验中学高三第一次模】若圆关于直线对称，则由点向圆所作切线长的最小值为（）A1BC
