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1、专题质量检测(五)解析几何一、选择题1“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：方程mx2ny21可以变形为1，则mn00，故选C.答案：C2已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A，B，C，D为顶点的四边形ABCD的面积为()A10 B20C30 D40解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为24，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为41020，故应选B.答案：B3若直线l被圆x2y24所截得的弦长为2，则直线l与下
2、列曲线一定有公共点的是()Ay2x B.y21C(x2)2y24 D.y21解析：依题意得，圆心(0,0)到直线l的距离等于1，即直线l必是圆x2y21的切线对于A，圆x2y21的切线x1与曲线y2x没有公共点；对于B，圆x2y21的切线x1与曲线y21没有公共点；对于C，圆x2y21的切线x1与曲线(x2)2y24没有公共点；对于D，由于圆x2y21上的所有点均不在椭圆y21外，因此圆x2y21的切线与曲线y21一定有公共点综上所述，选D.答案：D4已知双曲线1的两个焦点分别为F1、F2，则满足PF1F2的周长为62的动点P的轨迹方程为()A.1 B.1C.1(x0) D.1(x0)解析：依
3、题意得，|F1F2|22，|PF1|PF2|6|F1F2|，因此满足PF1F2的周长为62的动点P的轨迹是以点F1、F2为焦点，长轴长是6的椭圆(除去长轴的端点)，即动点P的轨迹方程是1(x0)，选C.答案：C5以抛物线y24x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()Ax2y22x0 Bx2y2x0Cx2y2x0 Dx2y22x0解析：抛物线y24x的焦点坐标为(1,0)，选项A中圆的圆心坐标为(1,0)，排除A；选项B中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除B；选项C中圆的圆心坐标为(0.5,0)，排除C.答案：D6直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A、B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到
4、直线x0的距离等于()A. B2C. D4解析：直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x24，故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是.答案：C7已知A(2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2y2kx0上两个不同点，P是圆x2y2kx0上的动点，如果M，N关于直线xy10对称，则PAB面积的最大值是()A3 B4C3 D6解析：依题意得圆x2y2kx0的圆心位于直线xy10上，于是有10，即k2，因此圆的圆心坐标是(1,0)、半径是1.由题意可得|AB|2，直线AB的方
5、程是1，即xy20，圆心(1,0)到直线AB的距离等于，点P到直线AB的距离的最大值是1，PAB面积的最大值为23，选C.答案：C8已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A. B.C2 D.1解析：由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.答案：D9已知双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，离心率为e，若点(1,0)与点(1,0
6、)到直线1的距离之和为S，且Sc，则离心率e的取值范围是()A. B，C. D.解析：由题意得Sc，所以2c25ab，即4c425a2(c2a2)，整理得4c425a2c225a40，所以4e425e2250，解得e25，即e.答案：A10已知椭圆1(ab0)和双曲线1(a0，b0)有相同的焦点F1、F2，则椭圆和双曲线离心率的平方和为()A. B.C2 D3解析：依题意得2a2b2a2b2，即a22b2，因此该椭圆和双曲线的离心率分别是 和 ，该椭圆与双曲线的离心率的平方和为，选A.答案：A11若P是双曲线C1：1(a0，b0)和圆C2：x2y2a2b2的一个交点且PF2F12PF1F2，其
7、中F1、F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为()A.1 B.1C2 D3解析：依题意得，F1PF290，又PF2F12PF1F2，因此PF1F230，|PF2|F1F2|c，|PF1|F1F2|c，双曲线C1的离心率等于1，选B.答案：B12设平面区域D是由双曲线y21的两条渐近线和抛物线y28x的准线所围成的三角形(含边界与内部)若点(x，y)D，则xy的最小值为()A1 B0C1 D3解析：由题意知，双曲线的渐近线方程为yx，抛物线的准线方程为x2，设zxy，得yxz，平移yx，可知当直线过点O(0,0)时，直线yxz的纵截距最小，故zmin0.答案：B二、填空题13已知正三
8、角形OAB的三个顶点都在抛物线y22x上，其中O为坐标原点，则OAB的外接圆的方程是_解析：由题意知A，B两点关于x轴对称，所以外接圆的圆心C在x轴上设圆C的半径为r(r0)，则圆心坐标为(r,0)，A点坐标为，于是有22r，解得r4，所以圆C的方程为(x4)2y216.答案：(x4)2y21614若直线l：4x3y80过圆C：x2y2ax0的圆心且交圆C于A、B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：由题易知，圆C：x2y2ax0的圆心为.又直线l：4x3y80过圆C的圆心，43080，a4，圆C的方程为x2y24x0，即(x2)2y24.|AB|2r4.又点O(0,0)到直线l：4x3
9、y80的距离d，SOAB|AB|d4.答案：15F是抛物线y22x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|BF|6，则线段AB的中点到y轴的距离为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知：|AF|BF|x1x2x1x2p6，p1，x1x25，线段AB的中点的横坐标为，线段AB的中点到y轴的距离为.答案：16设点A1、A2分别为椭圆1(ab0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1、A2的点P，使得POPA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是_解析：由题设知OPA290，设P(x，y)(x0)，以OA2为直径的圆的方程为2y2，与椭圆方程联立，得x2axb
10、20.易知，此方程有一实根a，且由题设知，此方程在区间(0，a)上还有一实根，由此得0a，化简得01，即01，得e2，所以e的取值范围为.答案：三、解答题17已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P，离心率是.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l过点E(1,0)且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|2|EB|，求直线l的方程解析：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)由已知可得解得a24，b21.故椭圆C的标准方程为y21.(2)由已知，若直线l的斜率不存在，则过点E(1,0)的直线l的方程为x1，此时令A，B，显然|EA|2|EB|不成立若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为yk(x
11、1)联立整理得(4k21)x28k2x4k240.由(8k2)24(4k21)(4k24)48k2160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)即x1x2，x1x2.由|EA|2|EB|，得x12x23.联立解得k.所以直线l的方程为x6y0或x6y0.18已知圆C：(x4)2(ym)216(mN*)，直线4x3y160过椭圆E：1(ab0)的右焦点，且被圆C所截得的弦长为，点A(3,1)在椭圆E上(1)求m的值及椭圆E的方程；(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围解析：(1)因为直线4x3y160被圆C所截得的弦长为，所以圆心C(4，m)到直线4x3y160的距离为 ，即，解m4或m4(
12、舍去)又因为直线4x3y160过椭圆E的右焦点，所以椭圆E的右焦点F2的坐标为(4,0)，则其左焦点F1的坐标为(4,0)因为椭圆E过A点，所以|AF1|AF2|2a，所以2a56，所以a3，a218，b22，故椭圆E的方程为1.(2)由(1)知C(4,4)，又A(3,1)，所以(1,3)，设Q(x，y)，则(x3，y1)，则x3y6.令x3yn，则由消去x得18y26nyn2180，由于直线x3yn与椭圆E有公共点，所以(6n)2418(n218)0，解得6n6，故x3y6的取值范围为12,019已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y24x的焦点F恰好是该椭
13、圆的一个顶点(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆M：x2y2的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由解析：(1)设椭圆C的焦距为2c.椭圆C的离心率e，即ac.抛物线y24x的焦点F(，0)恰好是该椭圆的一个顶点，a.c1，b1.椭圆C的方程为y21.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l与圆M相切，其中的一条切线的方程为x.由解得或不妨设A，B，则以AB为直径的圆的方程为2y2.当直线l的斜率为零时，直线l与圆M相切，其中的一条切线的方程为y.由解得或不妨设A，B，则以AB为直径的圆的方程为x22.显然以上两圆的一个交点为O(0,0)当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为ykxm.由消去y得(2k21)x24kmx2m220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.x1x2y1y2.直线
