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1、 1 1解答题押题练C组1已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围解(1)mnsincoscos2 sincos sin.(3分)因为mn1，所以sin，故cos12sin2，所以coscos.(6分)(2)因为(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，即2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，所以2sin Acos Bsin(BC)，(8分)又因为ABC，所以sin(B
2、C)sin A，且sin A0，所以cos B，B，0A，所以，sin1，(12分)又f(x)mnsin，所以f(A)sin，故函数f(A)的取值范围是.(14分)2如图，在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，ACCD，DAC60，ABBCAC，E是PD的中点，F为ED的中点(1)求证：平面PAC平面PCD；(2)求证：CF平面BAE.证明(1)因为PA底面ABCD，所以PACD，(2分)又ACCD，且ACPAA，所以CD平面PAC，(4分)又CD平面PCD，所以平面PAC平面PCD.(7分)(2)取AE中点G，连接FG，BG.因为F为ED的中点，所以FGAD且FGAD.(9分)在ACD中
3、，ACCD，DAC60，所以ACAD，所以BCAD.(11分)在ABC中，ABBCAC，所以ACB60，从而ACBDAC，所以ADBC.综上，FGBC，FGBC，四边形FGBC为平行四边形，所以CFBG.(13分)又BG平面BAE，CF平面BAE，所以CF平面BAE.(14分)3某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数yf(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模
4、型的基本要求，并分析函数y2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用模型函数y作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值解(1)设奖励函数模型为yf(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数yf(x)满足：当x10,1 000时，f(x)在定义域10,1 000上是增函数；f(x)9恒成立；f(x)恒成立(2分)对于函数模型f(x)2.当x10,1 000时，f(x)是增函数，(3分)f(x)maxf(1 000)229.所以f(x)9恒成立但x10时，f(10)2，即f(x)不恒成立，故该函数模型不符合公司要求(6分)(2)对于函数模型f(x)，即f(x)10，当3a20
5、0，即a时递增；(8分)要使f(x)9对x10,1 000恒成立，即f(1 000)9,3a181 000，a；(10分)要使f(x)对x10,1 000恒成立，即，x248x15a0恒成立，所以a.(12分)综上所述，a，所以满足条件的最小的正整数a的值为328.(14分)4已知椭圆C：1(ab0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)若(O为坐标原点)，求|y1y2|的值；(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，
6、求出点Q坐标；若不存在，请说明理由解(1)由椭圆的定义知a，设P(x，y)，则有，则，又点P在椭圆上，则，b22，椭圆C的方程是1.(3分)，|cosAOB，|sinAOB4，SAOB|sinAOB2，又SAOB|y1y2|1，故|y1y2|4.(7分)(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，依题意可知直线l斜率存在且不为零，直线l的方程为yk(x1)(k0)，由消去y得(3k22)x26k2x3k260，(9分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.直线QA，QB的倾斜角互为补角，kQAkQB0，即0，(13分)又y1k(x11)，y2k(x
7、21)，代入上式可得2x1x22m(m1)(x1x2)0，22m(m1)0，即2m60，m3，存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角(16分)5已知函数f(x)x2(12a)xaln x(a为常数)(1)当a1时，求曲线yf(x)在x1处切线的方程；(2)当a0时，讨论函数yf(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间解(1)当a1时，f(x)x2xln x，则f(x)2x1，(2分)所以f(1)2，且f(1)2.所以曲线yf(x)在x1处的切线的方程为：y22(x1)，即：y2x.(6分)(2)由题意得f(x)2x(12a)(x0)，由f(x)0，得x1，x2a，(8
8、分)当0a时，由f(x)0，又知x0得0xa或x1由f(x)0，又知x0，得ax，所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和，单调减区间是，(10分)当a时，f(x)0，且仅当x时，f(x)0，所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数(11分)当a1时，由f(x)0，又知x0得0x或ax1，由f(x)0，又知x0，得xa，所以函数f(x)的单调增区间是和(a,1)，单调减区间是，(13分)当a1时，由f(x)0，又知x0得0x，由f(x)0，又知x0，得x1，所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.(16分)6设数列bn满足bn2bn1bn(nN*)，b22b1.(1)若b33，求
9、b1的值；(2)求证数列bnbn1bn2n是等差数列；(3)设数列Tn满足：Tn1Tnbn1(nN*)，且T1b1，若存在实数p，q，对任意nN*都有pT1T2T3Tnq成立，试求qp的最小值(1)解bn2bn1bn，b3b2b13b13，b11；(3分)(2)证明bn2bn1bn，bn3bn2bn1，得bn3bn，(5分)(bn1bn2bn3n1)(bnbn1bn2n)bn1bn2(bn3bn)11为常数，数列bnbn1bn2n是等差数列(7分)(3)解Tn1Tnbn1Tn1bnbn1Tn2bn1bnbn1b1b2b3bn1当n2时Tnb1b2b2bn(*)，当n1时，T1b1适合(*)式T
10、nb1b2b3bn(nN*)(9分)b1，b22b11，b33b1，bn3bn，T1b1，T2T1b2，T3T2b3，T4T3b4T3b1T1，T5T4b5T2b3b4b5T2b1b2b3T2，T6T5b6T3b4b5b6T3b1b2b3T3，T3n1T3n2T3n3T3n2b3n1b3nb3n1T3n1b3nb3n1b3n2T3nb3n1b3n2b3n3T3n2b1b2b3T3n1b1b2b3T3nb1b2b3(T3n2T3n1T3n)，数列T3n2T3n1T3n)(nN*)是等比数列，首项T1T2T3且公比q，(11分)记SnT1T2T3Tn，当n3k(kN*)时，Sn(T1T2T3)(T4T5T6)(T3k2T3k1T3k)3，Sn3；(13分)当n3k1(kN*)时Sn(T1T2T3)(T4T5T6)(T3k2T3k1T3k)T3k3(b1b2b3)k34k0Sn3；(14分)当n3k2(kN*)时Sn(T1T2T3)(T4T5T6)(T3k2T3k1T3k)T3k1T3k3(b1b2b3)k1b1b2(b1b2b3)k3k1k3k，Sn3.(15分)综上得Sn3则p且q3，qp的最小值为.(16分)
