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1、函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a是非零常数,若对于函数yf(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且|a是它的一种周期。f(x+a)=f(x-a) f(xa)f（x) f(xa)/(x） (xa)=-1/f(）2、函数的对称性与周期性性质5若函数yf()同步有关直线x=a与b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且=2|a|性质6、若函数y=()同步有关点（，0)与点（b,0）中心对称，则函数(x)必为周期函数，且T=2|a-b|性质、若函数(x)既有关点（，0)中心对称，又有关直线x轴对称,则函数f（x)必为周期函数,且T4|a-b|3.函数图象自
2、身的对称性（自身对称)若,则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表达周期性,内反表达对称性”。、 图象有关直线对称推论1: 的图象有关直线对称推论2、 的图象有关直线对称推论3、 的图象有关直线对称2、 的图象有关点对称推论、 的图象有关点对称推论2、 的图象有关点对称推论3、 的图象有关点对称例题分析：1.设是上的奇函数,当时，,则等于 ( ）(A）.5 （B） ()15 (） 2、（山东）已知定义在上的奇函数满足,则的值为( ）A.-1 B0 1 D23.设是定义在上的奇函数，求4函数对于任意实数满足条件，若，则_.已知是定义在上的奇函数,且它的图像有关直线对称。（1)求的值;(2）证明是
3、周期函数;（3）若,求时，函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一种周期的图象。6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（+)=f(x)当0,2时,f(x）=2x.(1)求证：f（x)是周期函数；（2)当2,4时，求f(x)的解析式巩固练习:1函数f(）是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x-1，则不等式xf()0在-1,上的解集为（ ）A.(1,3） B.（1,) C.（-1，0)(1，3) D.（-1,0)(0,1）2设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x恒有(x+1）=f(x1),已知当x0,时,f(x)=1x,则:是函数f(x)的周期;函数f(）在(1
4、,)上递减，在(2，3)上递增;函数f(）的最大值是1,最小值是0；当x(3，)时,(x）x3其中所有对的命题的序号是_3设定义在上的奇函数y=(x)，满足对任意tR，均有f（t)=f(1t)，且x时,（x)-x2，则f()f的值等于（ )A.BC .-4若偶函数y=f(x）为R上的周期为6的周期函数,且满足f（)（x+)(-a)(x3）,则(-6)等于_.、（1);（)（3）若设.设f()是(-,)上的奇函数，f(x2)f（x)，当x时，f()x.(1）求f（3)的值;()当-4x时,求f()的图像与x轴所围成图形的面积设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时,的解析式.
5、设函数对任意实数满足, 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数.又知在上是一次函数,在上是二次函数，且在时函数获得最小值.（1）证明：;（）求的解析式;(）求在上的解析式.10.已知，(1)判断的奇偶性；(2）证明：11、定义在上的函数是减函数,且是奇函数，若，求实数的范畴。2.(重庆文）已知定义域为的函数是奇函数。(）求的值；()若对任意的，不等式恒成立,求的取值范畴。复习题:1 已知数列，其前项和为,点在抛物线上；各项都为正数的等比数列满足.（)求数列，的通项公式;()记,求数列的前项和.2.在中，角、所对的边分别是、,且(其中为的面积)
6、.(）求;（）若，的面积为，求.3.某日用品按行业质量原则提成五个级别，级别系数依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其级别系数进行记录分析，得到频率分布表如下：1345频率00.45（1)若所抽取的件日用品中,级别系数为4的恰有3件,级别系数为5的恰有2件，求,的值;ABCPH(）在(1）的条件下,将级别系数为4的3件日用品记为，级别系数为5的2件日用品记为，现从,，这件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的也许性相似),写出所有也许的成果,并求这两件日用品的级别系数正好相等的概率. 如图,在三棱锥中，底面，为的中点,.(）求证:平面;(）求通过点的球的表面积。5.
7、已知抛物线与轴交点为，动点在抛物线上滑动,且(1）求中点的轨迹方程;(2）点在上,有关轴对称,过点作切线，且与平行，点到的距离为,且,证明:为直角三角形 6. 设函数.(1）求的极大值；（2）求证：(3)当方程有唯一解时，方程也有唯一解,求正实数的值；函数的周期性与对称性1、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数=f()定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数=(x)是周期函数,且a是它的一种周期。(x+a)=f（x-a) f(x+a)=f(x） f(x+a）/(x) f(xa）-1/f(x）2、函数的对称性与周期性性质5 若函数y=(）同步有关直线x与x=b轴对称，则函数f()必为周
8、期函数,且=|ab|性质、若函数y=（x)同步有关点（a,0)与点(b,）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T=2|a|性质7、若函数=(x)既有关点（a,）中心对称，又有关直线xb轴对称，则函数f(x）必为周期函数,且4|a|3函数图象自身的对称性(自身对称）若，则具有周期性;若，则具有对称性：“内同表达周期性，内反表达对称性”。1、图象有关直线对称推论1： 的图象有关直线对称推论2、 的图象有关直线对称推论、 的图象有关直线对称2、 的图象有关点对称推论1、 的图象有关点对称推论2、 的图象有关点对称推论3、 的图象有关点对称例题分析:1.设是上的奇函数，当时，则等于 （ )(A）.
9、5 (B) ().5 (D） 2、(山东）已知定义在上的奇函数满足,则的值为（ ）A- B0 D.23设是定义在上的奇函数,求函数对于任意实数满足条件,若,则_5已知是定义在上的奇函数,且它的图像有关直线对称。（1)求的值;（2）证明是周期函数；（）若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一种周期的图象。.设f(）是定义在上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=f(x).当x,2时,f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2，时,求f（x)的解析式.解：(1)证明：f(2）-f(x），f（x4）-(x2)=f().f()是周期为4的周期函数.(2)2,4,-x
10、-,2，4，2，(4)=(4x)-(4-x)2-6x-8.又f()=f（-）(x),-f(x）=-+x8,即f(x）26x8,x2，巩固练习:1函数(x）是周期为的偶函数,当x0，时,f()x1,则不等式xf（x）0在，3上的解集为( )（，3) （1,) (1,0)(1,3） .(，0)（0,1)解析:选 f(x)的图像如图.当x(1,0)时,由f(x)得（1,0)；当（0,1)时,由f（x）0得;当(1,3)时,由f()0得x(，3).故（1,0）(,3)2.设函数f（x)是定义在上的偶函数,且对任意的xR恒有f（x1)=f（x1),已知当x0,时,f(x)1，则:2是函数f(x）的周期;
11、函数f（x)在(,)上递减,在(2,3)上递增;函数f()的最大值是1，最小值是0;当(3,4)时，f(x)=x3其中所有对的命题的序号是_解析：由已知条件：f（x+2)f(),则y(x)是以为周期的周期函数,对的；当-1x0时0x1，f(x）(-x）1+，函数yf(x)的图像如图所示：当3x4时,10，f(x）f(x-4)x3，因此对的,不对的.答案:3.设定义在R上的奇函数y(x),满足对任意R，均有(t）=f（1-t),且x时，f(x)x2，则f(3)+的值等于( ）A. .C- 解析：选C由f（)=f(1t)得f(t)f(t)(),因此(2t)-(1+t)f(t),因此f()的周期为2
12、.又f(1)(11)(0）0,因此f(3)f=f(1）+f=0=4若偶函数(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f（）(x+1)(x-a)(-3x3),则f（-6）等于_.解析:=f()为偶函数,且f(x）=(x+1)(x-)(33），f(x)=x2(1a）xa,1a.a=1.f()=(+1)（1）(-3x3)(-6)(-)=f（0)、(1）;(）（3）若设.6.设f()是(-，)上的奇函数，(x2)=-f(),当0x1时,(x)=x.(1)求f()的值;（2)当-4x4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积解：（1)由(x2)=f(x)得，f(x4)(2)2f(x2)()，因此f（）是以4为周期的周期函数，因此f(3)=f(-4)=()1.(2) 由f(x)是奇函数与f(x+2)=f(x)，得f(x1)2-f(x-)f-(x-)，即(x)=f(1)故知函数yf(x)的图像有关直线1对称又x1时,(x）=，且(）的图像有关原点成中心对称，则x0时,f(x)=x,则(
