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1、同济六版高等数学上册总结第一章 函数与极限一 函数的概念1用变上、下限积分表达的函数（1) ,其中持续,则，（2)，其中可导，持续，则2 两个无穷小的比较设且（)l 0，称 ()是比g()高阶的无穷小,记以f (） =0,称g(x)是比f（x)低阶的无穷小。（) 0，称 ()与(x)是同阶无穷小。(）l = ，称f()与g(x）是等价无穷小，记以f() g()3 常用的等价无穷小当x 0时sin x x, x ， , x1 cos ， 1 x ， x ，二 求极限的措施1 运用极限的四则运算和幂指数运算法则（1） 若（n为整数），且,则存在(单调递减有下界，极限存在）（2） 若，且,则存在（单
2、调递增有上界,极限存在)2 两个准则准则单调有界数列极限一定存在准则（夹逼定理)设g(x) f （x） (x)若，则3 两个重要公式公式1公式4 用无穷小重要性质和等价无穷小代换5 用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻）当时,有如下公式,可当做等价无穷小更深层次6 洛必达法则定理1 设函数、满足下列条件:（1),;（)与在的某一去心邻域内可导，且;（3）存在(或为无穷大)，则 这个定理阐明：当存在时,也存在且等于；当为无穷大时，也是无穷大.这种在一定条件下通过度子分母分别求导再求极限来拟定未定式的极限值的措施称为洛必达(opitl）法则例计算极限解 该极限属于“”型不定式，于是由洛必达法则,得.例
3、2计算极限解该极限属于“”型不定式,于是由洛必达法则,得注若仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即二、型未定式定理2 设函数、满足下列条件:（1）,;（2)与在的某一去心邻域内可导，且；(3)存在(或为无穷大)，则 注:上述有关时未定式型的洛必达法则，对于时未定式型同样合用例3计算极限解 所求问题是型未定式，持续次施行洛必达法则,有.使用洛必达法则时必须注意如下几点:（1）洛必达法则只能合用于“”和“”型的未定式，其他的未定式须先化简变形成“”或“”型才干运用该法则；（2)只要条件具有,可以持续应用洛必达法则；(）洛必达法则的条件是充足的，但不必要.因此,在该法则失效时并不能断定原极限
4、不存在7运用导数定义求极限基本公式(如果存在）8 运用定积分定义求极限 基本格式（如果存在）三 函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1） 第一类间断点设 是函数y = f ()的间断点。如果f (x)在间断点处的左、右极限都存在，则称是f （）的第一类间断点。第一类间断点涉及可去间断点和跳跃间断点。（）第二类间断点第一类间断点以外的其她间断点统称为第二类间断点。常用的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四 闭区间上持续函数的性质 在闭区间a,上持续的函数 (x)，有如下几种基本性质。这些性质后来都要用到。定理1.(有界定理)如果函数f(x）在闭区间，b上持续，则 (）必在a,b上有界。
5、定理2(最大值和最小值定理）如果函数 (x)在闭区间a,b上持续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m。 其中最大值M和最小值 的定义如下:定义设 f ( ) = M 0 是区间a，b上某点 x 处的函数值，如果对于区间a,b上的任一点x,总有f ()M ,则称M 为函数 (x)在a，b上的最大值。同样可以定义最小值m。定理3(介值定理)如果函数f (x）在闭区间a,b上持续,且其最大值和最小值分别为 和m ,则对于介于m和M之间的任何实数c,在a,b上至少存在一种 ,使得f( ) = c推论：如果函数f(x)在闭区间a,上持续，且f(a)与f （）异号，则在（a,）内至少存在一种点 ，
6、使得f ()= 这个推论也称为零点定理第二章 导数与微分导数公式:四则运算法则f (x)（x)=f(x） (x) (x) g(x)= f ()g（x）+ f（x）g(x)3 复合函数运算法则设 = f (u）,u = (x）,如果 (x)在x处可导,()在相应点u处可导，则复合函数y = f (x）在x处可导,且有相应地,由于公式不管u 是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。4 由参数方程拟定函数的运算法则设x (t)，y =拟定函数=y()，其中存在,且 0，则二阶导数5 反函数求导法则设y= f (x）的反函数x g(y),两者皆可导,且f(x) 0则二阶导数隐函数运算法则
7、设y = y(）是由方程F(x,) = 0所拟定，求y的措施如下：把F(, y)= 0两边的各项对x求导,把y看作中间变量,用复合函数求导公式计算,然后再解出y 的体现式(容许浮现y 变量)7 对数求导法则先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导措施得出导数y。对数求导法重要用于:幂指函数求导数多种函数连乘除或开方求导数有关幂指函数 f(x)g (x) 常用的一种措施, =这样就可以直接用复合函数运算法则进行。8可微与可导的关系f （x）在 处可微 f()在0 处可导。9 求n阶导数（n ，正整数)先求出 ,y， ,总结出规律性，然后写出(n),最后用归纳法证明。有某些常用的初等函数的n
8、 阶导数公式（1）（2）（3） ,（4） , （5),第三章 微分中值定理与导数应用一罗尔定理设函数 (x)满足(1）在闭区间a,b上持续；（)在开区间(a,b)内可导;(3） f（a) (）则存在(a，b),使得f （ ） 0二拉格朗日中值定理设函数 f (x）满足（1)在闭区间,b上持续;（2)在开区间(a,b)内可导;则存在 (a,b)，使得推论.若f ()在(a,)内可导，且f (x) 0，则f (x)在(a,b)内为常数。推论2若f (x) , g（x) 在（a，b） 内皆可导，且f （x) g(x）,则在(a，)内f () = g(x) c，其中c为一种常数。三柯西中值定理设函数f
9、 （x)和g()满足：(1）在闭区间a，b上皆持续；(2)在开区间(a,b)内皆可导；且g(x) 则存在 (a,b）使得（注:柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广,特殊情形g(x) 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四泰勒定理(泰勒公式）定理 .（皮亚诺余项的 阶泰勒公式）设f (x)在0 x处有阶导数,则有公式，称为皮亚诺余项前面求极限措施中用泰勒公式就是这种情形,根据不同情形取合适的n ， 因此对常用的初等函数如,si x，cos ，n(1+)和 （ 为实常数）等的阶泰勒公式都要熟记。定理(拉格朗日余项的阶泰勒公式)设f(x)在涉及 x的区间(a,b)内有 +1阶导数，在a，上有阶持
10、续导数,则对a，b，有公式，,称为拉格朗日余项上面展开式称为以0 为中心的n 阶泰勒公式。当= 时,也称为阶麦克劳林公式。导数的应用：一 基本知识1.定义设函数f (x)在(a,)内有定义，是(a,b）内的某一点，则如果点 存在一种邻域,使得对此邻域内的任一点（ ）,总有,则称为函数f (x）的一种极大值,称 为函数 （x)的一种极大值点;则如果点 存在一种邻域,使得对此邻域内的任一点（ x），总有 0,则曲线y = f (x)在（a,b）内是凹的;如果在(,b)内的每一点x,恒有 0,则曲线y =f(x）在(a,）内是凸的。求曲线y f (x)的拐点的措施环节是:第一步:求出二阶导数;第二步
11、：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点；第三步：对于以上的持续点,检查各点两边二阶导数的符号，如果符号不同,该点就是拐点的横坐标；第四步:求出拐点的纵坐标。四 渐近线的求法五 曲率第四章 不定积分一基本积分表：二 换元积分法和分部积分法换元积分法(1)第一类换元法（凑微分):（2)第二类换元法（变量代换）：分部积分法使用分部积分法时被积函数中谁看作谁看作有一定规律。记住口诀，反对幂指三为,靠前就为,例如，应当是为,由于反三角函数排在指数函数之前，同理可以推出其她。三 有理函数积分 有理函数： 其中是多项式。 简朴有理函数: 1、“拆”;、变量代换(三角代换、倒代换、根式代换等).第五章定积分一概念与性质1、 定义：2、 性质：（条）（3）3 基本定理变上限积
