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1、概率问题 摘要:高中阶段的不外乎等可能事件、互斥事件、相互独立事件,但往往所求事件较为隐晦,需要揭示其言下之意,倾听其“弦外之音”,理清事件的结构组成关系才可处理,本文就此对常见的作些探讨.关键词:;“弦外之音”高中阶段的以等可能事件、互斥事件、相互独立事件为主,对于通常事件的概率只要处理即可,但对部分较为隐晦的事件,一定要倾听的“弦外之音”,把握问题的本质,才能处理问题. 下面举例说明.例1某人射击一次,击中目标的概率为,假设此人连续两次未击中目标就被终止射击.求此人恰射击5次被终止的概率.解析因为“连续两次未击中目标就被终止射击”, 因此“此人恰射击5次被终止”的“弦外之音”是第4次、第5
2、次均未中,第3次击中,且前两次最少击中1次.设此人第i次击中目标为事件Ai,则事件“此人恰射击5次被终止”可表示为:A3?摇又P=1-=,各次射击相互独立,故所求事件的概率为PPP1-PP=1-=.例2A,B两同学各有5张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏. 当正面朝上时A赢一张卡片,不然B赢一张. 当某人赢得全部的卡片,则游戏终止. 求投掷硬币的次数小于7的概率.解析本题的“弦外之音”较为复杂. 显然每掷一次A赢的概率是,依据游戏规则,最少掷5次才能终止游戏. 下面就掷5次、6次、7次逐一讨论.若掷5次A赢,终止游戏,则这5次A全赢,概率为5. 当然B也能够赢,故若掷5次终止游戏的概率是2
3、5.若掷6次A赢,显然第6次A赢,而且第5次A也要赢;前4次若A全赢,则掷第5次是游戏终止;前4次若A至多赢3次,则掷完6次后,A至多赢4张,这么就产生了矛盾,因此掷6次游戏终止不可能.若掷7次A赢,终止游戏,“弦外之音”为第6次、第7次A全赢且前5次A恰赢4次输1次,其概率为:C4. 因此掷7次终止游戏的概率是2C4.综上,投掷硬币的次数小于7次的概率是25+2C4=.引申以上解析是分析“投掷硬币的次数小于7次”事件的全部可能,实际上,这个问题能够代数化,设为游戏终止时投掷硬币的次数,正面朝上的次数为m,反面朝上的次数为n,其中m,n,均为小于7的自然数,由题意知m-n=5,m+n=. 因此
4、当m=5,n=0或m=0,n=5时=5;当m=6,n=1或m=1,n=6时=7.因此P=P+P=25+2C7=.例3甲、乙两队进行一场排球比赛,单局比赛甲获胜的概率为,本场比赛采取五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束. 假设各局比赛相互之间没有影响,求乙队以32获胜的概率.解析因为本场比赛采取五局三胜制,即先胜三局的队获胜,乙队以32获胜,因此其“弦外之音”是必需打满5局,且第5局乙胜,前4局乙恰胜2局,又乙胜的概率为=,故所求的概率为:C引申单局比赛甲获胜的概率为,大于乙获胜的概率,因此采取七局四胜制比五局三胜制对甲队更有利,正所谓“路遥知马力”.例4某食品出厂前要经过五项指标的检验,假
5、如两项及两项以上不合格就不准出厂. 五项指标的检验是相互独立的,每项指标不合格的概率是 求直到五项指标全部检验完成才确定该食品是否能够出厂的概率.解析依据能否出厂的要求,“直到五项指标全部检验完成才确定该食品是否能够出厂”的“弦外之音”就是第五项指标若合格即可出厂,不然就不能出厂,也就是说前四项指标有且只有一项不合格,故直到五项指标全部检验完成才确定该食品是否能够出厂的概率是C= 6.例5 假如早上送报纸的时间是7:008:00,某人上班出发的时间是7:308:30,而且送报纸和上班出发的时间全部是随机的,求此人在上班前能看到报纸的概率.解析“在上班前能看到报纸”其“ 弦外之音”就是送报纸的时刻要早于上班出发的时刻.故能够设7:00对应第0分钟,送报纸的时刻为第x分钟,上班出发的时刻为第y分钟,则x,y应满足0x60,30y90,xy.问题转化为线性计划和几何概型问题,图1.故所求的概率为?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇P=1-=1-=.由以上例题解析的过程,我们发觉“弦外之音”的揭开往往要用到反证法,而且揭开“弦外之音”的通常步骤是:本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
