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1、第四章 积分变换法积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法. 不仅如此，在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用. 本章介绍Fourier变换在求解偏微分方程定解问题中的应用. 主要以一维热传导方程，一维波动方程及平面上的Laplace方程为主. 对于高维情形，由于计算过程要复杂一些，故只做简单介绍，也不做过多要求. 41 热传导方程Cauchy问题4.1.1 一维热传导方程Cauchy问题考虑如下问题下面利用Fourier变换求解该定解问题. 设为常数，函数的Fourier变换为 (1.3)为书写方便起见，引入记号, 如果为二元函数，表示对中的空间变量作Fourier变换的像函数，此时作
2、为参数对待.对（1.1）（1.2）关于空间变量作Fourier变换得上面是一阶线性常微分方程的初值问题，解之可得 (1.4)利用（1.3）得 记 （1. / 5）其中为单位阶跃函数. 则有 利用上面结果将（1.4）改写为 (1.6)对（1.6）两边取Fourier逆变换，并利用Fourier变换卷积公式便得 (1.7)（1.7）即为定解问题（1.1）（1.2）的解.在的表达式（1.7）中，函数起着一个基本作用. 如果令，则有因此，是如下问题的解而和分别是下面两问题的解 由于知道了就可直接写出（1.1）（1.2）的解（1.7）式. 类似于求解线性方程组，其中为矩阵. 如果知道该齐次方程组的一个基
3、解组，则方程的任一解可由基解组的线性组合表出. 因此，的作用就相当于向量空间中的基，故称为定解问题（1.1）（1.2）的基本解(fundamental solution).基本解是线性微分方程的一个很重要的概念，不仅可以表示Cauchy问题的解，也可用来构造Green函数表示边值问题的解.基本解有明确的物理解释. 若在初始时刻时在处置放一单位点热源，则此单位点热源在轴上产生的温度分布便是. 类似地，若在初始时刻时在处置放一单位点热源，则此点热源在轴上产生的温度分布为. 而将初始时刻变为时，其温度分布就是.注1 在（1.1）（1.2）解的表达式（1.7）中，如果将其中的第一项和第二项分别记为和，
4、则是相应于时齐次方程的解，而是相应于时非齐次方程的解. 若记，则由齐次化原理可知.另外，和表达式中的卷积形式类似，也可表示成某种卷积形式，请同学们试给出这一表示形式.例1.1 求解如下定解问题其中均为常数.解 对（1.14）（1.15）关于作Fourier变换得 解之可得 (1.16)为了求函数的Fourier逆变换，利用配方法将其改写为由于利用Fourier变换的位移性质得 取得 故有 其中 记 其中为单位阶跃函数. 即为定解问题（1.14）（1.15）的基本解.将（1.16）改写为.,求Fourier逆变换得 如果将（1.15）中的齐次方程改为非齐次方程 ，考虑如下定解问题请同学们写出该定
5、解问题的解. 例1.2 求解如下定解问题其中 解 由（1.7）可得该问题的解为对积分作变量代换 得引入下面函数 （1.17）该函数称为误差函数. 利用误差函数可得.4.1.2 二维热传导方程Cauchy问题为加深对线性微分方程基本解的进一步理解,下面再求解二维热传导方程Cauchy问题 为求解(1.19)(1.20)，先求二维热传导方程的基本解,即如下定解问题的解引入二元函数的Fourier变换和一元函数Fourier变换的性质相对应，二元函数的Fourier变换也有类似性质.对(1.20)-(1.21)关于空间变量作Fourier变换得其中. 解之可得.故有即(1.18)-(1.19)的基本
6、解为与（1.7）相对应，（1.20）（1.21）的解为 作为练习，同学们试用Fourier变换求解三维热传导方程Cauchy问题. 42 波动方程Cauchy问题421 一维波动方程Cauchy问题考虑如下定解问题若记（2.3）（2.4）的解为，则由叠加原理和齐次化原理可得（2.1）（2.2）的解为 (2.5)因此，只须求解定解问题（2.3）（2.4）. 对（2.3）（2.4）关于空间变量作Fourier变换得解之可得记查Fourier变换表或直接计算可得故有对上式取Fourier逆变换并利用卷积公式得 .利用（2.5）便得（2.1）（2.2）的解为 (2.6)当时，（2.6）称为一维波方程C
7、auchy问题的达朗贝尔（DAlembert）公式.注1 在（2.4）中取，则有，即是如下定解问题的解，称其为一维波动方程的基本解. 利用基本解，就可写出（2.1）（2.2）的解（2.6）式. 在（2.6）的表达式中也起到一个“基”的作用. 4.2.2 二维和三维波动方程Cauchy问题下面，首先利用Fourier变换求解三维波动方程Cauchy问题,然后用降维法求出二维波动方程Cauchy问题的解.考虑三维波动方程Cauchy问题为求解定解问题(2.7)(2.9)，先求出三维波动方程的基本解，即如下问题的解,记. 对定解问题(2.10)(2.12)关于空间变量作Fourier变换得解之可得故
8、有为计算上面积分,首先对上面积分作变量代换,其中为三阶正交矩阵. 选使得将变为，. 根据正交变换的保内积性可得，该变换将分别变为.故有，再利用球坐标变换 可得.注意到，记即为三维波动方程的基本解.因此，当时，(2.7)(2.9)的解为其中.对任一， 记以点为心为半径的球面为，即. 将上面的积分化为累次积分并由函数的定义可得最后，由叠加原理和齐次化原理便得(2.7)(2.9)的解为 (2.14)其中.(2.14)称为三维波动方程Cauchy问题的克希霍夫（Kirchhoff）公式.利用Fourier变换求二维波动方程的基本解比较难. 利用三维空间中已有的结果（2.13），下面用降维法求二维波动方
9、程Cauchy问题. 考虑如下三维波动方程Cauchy问题 对于定解问题（2.15）（2.16），由于初始数据与无关，可推知解与也无关，故有0，即定解问题（2.15）（2.16）其实是一个二维波动方程Cauchy问题, 由(2.13)可得该问题的解为其中. 对于上半球面直接计算得 将上式代入到（2.17）中便得其中，. 和三维情形类似，由（2.18）可得二维波动方程Cauchy问题的解为 （2.22）（2.22）称为二维波动方程Cauchy问题的波以松（Poisson）公式. 4.2.3 解的物理意义对一维波动方程Cauchy问题，如果无外力作用，则解由DAlembert公式给出，即将上式改写
10、为其中记，则.首先考虑当时在平面上画出函数的图形，则的图形可通过的图形向左平移个单位长度而得. 随着的增加，的图形不断向左平移，移动速度为，故称为左传播波，为波速. 同样道理，称为右传播波. DAlembert公式表明:弦线在时刻的振动是初始振动所产生的右传播波和左传播波的叠加.其次，从DAlembert公式还可看出:在的值只与轴上区间上初始值有关，而与其它点的初始值无关. 这是由于波速为，在区间外的初始扰动在时刻还未传播到点，故称区间为点的依赖区间. 在平面上，过点分别作斜率为的直线，两条直线在轴上所截得的区间便是（图2.1）.给定轴上的区间，过点作直线，过点作直线，它们和轴构成了一个三角形
11、区域（图2.1）.由于该区域内任一点的依赖区间都落在区间内，因此，解在此三角形区域内的值完全由区间上的初始值决定，而与此区间外的初始值无关，故称此三角形区域为区间的决定区域. 同理，过点作直线，过点作直线，它们和轴构成一个梯形区域（图2.1），该区域称为区间的影响区域，它表示区间上初始扰动对弦线振动的作用范围. (x, t) 决定区域 影响区域 0 0 0 () (b) (c)图2.1由上面分析可得,波以常速沿两族直线向左右两个方向传播，这是波动现象的一个基本特征. 直线 称为一维波动方程的特征线，它们在一维波动问题的研究中起着重要作用.当时，对公式（2.14）和（2.22）进行分析，便可得到和上面类似的结论.对二维波动方程，一点的依赖区域是以为心，为半径的圆域；而对三维波动方程，一点的依赖区域是以为心，为半径的球面，而不是球形区域. 反映在波的传播过程中，平面波有前阵面而无后阵面，正像把一块石子扔在湖中，在湖面上激起层层浪花，这种现象称为波的弥漫现象；而空间波既有前阵面又有后阵面，正像人们听到声音，一会儿就消失了，这种现象称为空间波传播的无后效现象,此即Huygens原理. 43 积分变换法举例在前二节中，利用Fourier变换求出了热传导方程和波动方程Cauchy问题的解. 下面再进一步举例，说明积分变换法在求解偏微分方程定
