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1、第七章 复 数数学文化了解数学文化的发展与应用复数的发展史1545 年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著重要的艺术一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10x)=40的根，他求出的根 为 5 + ： 15和 515,积为 25 (15)=40.但由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有 意义的.因此复数在历史上长期不被接受.直到18世纪,达朗贝尔、欧拉和高斯等人逐步阐明了复数的几何意义及物理意义, 建立了系统的复数理论,从而使人们终于接受并理解了复数.复变函数的理论基础 是在19 世纪奠定的,主要是围绕柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进行
2、的. 到本世纪,复变函数论是数学的重要分支之一,随着它的领域不断扩大而发展成 一门庞大的学科,在自然科学的其他分支(如空气动力学、流体力学、电学、热学、 理论物理等)及数学的其他分支(如微分方程、积分方程、概率论、数论等)中,复 变函数论都有着重要应用.读图探新发现现象背后的知识问题 1：1545 年,数学家卡尔丹在重要的艺术中出了这么一个题目：把 10 分为两部分，使其乘积为40.他按照自己的习惯，设其中一部分为x,列出方程为 x(10x) = 40.但求出的根令他大为不解，甚至感到有些恐慌.你知道这是为什么 吗？问题 2：根据你的经验，你认为怎么办就可以解决卡当的问题？在正数范围内，方程x
3、+2 = 0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似的，在有理数范围内，x2=2 有解吗？我们又是怎样让它有解的？问题 3：为了使负数能够开方，你觉得应该引进一个什么样的新数？这个新数应 该服从什么规则？ 链接：由有理数的研究经验，我们知道“引进一种新的数，就要定义相应的运算； 定义一种运算，就要研究它满足怎样的运算律”.另外，根据数系扩充的原则，定义关于它们的加法和乘法，要使得原来关于实数的运算律保持不变.7.17.1.1数系的扩充和复数的概念课标要求素养要求通过方程的解，了解引进复数的必要性， 认识复数，理解复数的基本概念及复数 相等的充要条件.通过理解复数的基本概念及复数相等的 有关知识，体会
4、数学抽象及数学运算素 养.课前预习川知识探究|!教材知识探究卜憤塡引入希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛一天，张明与 王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话.张明：海纳百川，心阔容海海、心孰大？ 王华：夸张的手法，不可比较.张明：那么数 m， n 可否比较大小？王华：未必.问题 同学们，你能准确回答张明的问题吗？提示 若m，n为实数可以比较大小，若m，n是虚数则无法比较大小.新知橈理1. 复数的有关概念定义：形如a+bi(a, bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所 构成的集合C=a+bila, beR叫做复数集.(2)复数通常用字母z表示，代数形式为z=a+bi(a,
5、 beR)，其中a与b分别叫做 复数 z 的实部与虚部.2. 复数相等在复数集C=a+bila, bR中任取两个数a+bi, c+di(a, b, c, dR)，我们 规定：a+bi与c+di相等当且仅当a = c且b=d.3. 复数的分类(1) 对于复数a+bi(a, bR)，当且仅当b = 0时，它是实数；当且仅当a=b = 0 时，它是实数0;当bHO时，叫做虚数；当a = 0且bHO时，叫做纯虚数.这样, 复数z=a+bi(a，bR)可以分类如下：实数(b = 0)，复数虚数(bHO)(当a=0时为纯虚数).(2) 集合表示：教材拓展补遗微判断1. 若a，b为实数，则z=a+bi为虚数
6、.(X)2. 若a为实数，则z=a 一定不是虚数.(V)3如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.(V)提示1.当bH0时,z = a + bi为虚数.2. z二 a + bi(a , bR)，当 b 二 0 时，为实数.3. 当两个复数的实部与虚部分别相等，则两个复数相等.微训练21.在2+(7,丰8 + 5i, (1 /3)i, 0.68这几个数中，纯虚数的个数为()A.0B.1C.2D.32解析 由纯虚数的定义可知7i , (1 - 3)i为纯虚数.答案 C2. 若 a2i = bi+l, a, bR，则 a2+b2=.解析 由 a - 2i = bi + 1，所以
7、 a = 1 , b =- 2 ,所以 a2 + b2 二 5.答案 53. 若(x+y2) + (xy4)i=0(x, yR)，则 x=, y=_解析 根据复数相等的充要条件有x + y-2 = 0, x = 3 , b+i； 若 x2+ y2 0，则 x y 0.A.0 B.1 C.2 D.3解析 由于x,yeC,所以x + yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以是假命题由于两个虚数不能比较大小，所以是假命题当x = 1 , y = i时,X2 + y2 = 0成立，所以是假命题故选A.答案 A题型二复数的分类根据复数z = a + bi(a,beR)是实数、纯虚数、虚
8、数的充要条件求解【例2】(1)已知复数za+(a2-1)i是实数，则实数a的值为;(2)若复数 zsin 2a (1 cos 2a)i 是纯虚数，则 a.解析(1)z是实数,Aa2 _ 1 = 0，a = 1.(2)由题意矢知 sin 2a = 0 , 1 - cos 2aH0 ,nA 2a 二 2kn + n(kZ) , A a = kn + (kZ).答案(1)1 (2)kn+(kZ)规律方法 根据复数的概念求参数的一般步骤：第一步，判定复数是否为a + bi(a , beR)的形式，实部与虚部分别为什么；第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；第三步，解相应的方程(组)或不等
9、式(组)； 第四步，明确结论.训练 2】实数m取什么值时，复数b mm2m6+ (m2 2m)i是实数；虚数； (3)纯虚数？ m2 2m = 0 ,解(1)当十即m = 2时，复数z是实数.mHO ,m2 - 2mH0 ,当即mHO且mH2时，复数z是虚数.mHO ,厂m2 + m - 6 0当m即m二-3时，复数z是纯虚数.m2- 2mH O，题型三两个复数相等 把复数问题转化为实数问题解方程(组)求解【例3】已知x2y2+2xyi = 2i,求实数x, y的值.解*x2- y2 + 2xyi = 2i,( _ n ( (X2 - y2 - 0 ,X= 1 , X=- 1 ,解得或2xy-
10、 2，y- 1y- 1.规律方法 求解复数相等问题复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法 .转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是： 等式两边整理为a + bi(a , beR)的形式；(2) 由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；(3) 解方程组，求出相应的参数.【训练3】 关于x的方程3x1 = (10x)i有实根，求实数a的值.解 设方程的实数根为x-m,则原方程可变为3m - 2 - 1 - (10 - m)i， 3m - 2 - 1 = 0 , 、10 - m = 0 ,解得a = 58.1 核心素养 、素养落地1.通过学习复数的基本
11、概念，提升数学抽象素养.通过利用复数相等解决有关问题， 培养数学运算素养.2对于复数z=a+bi(a, bR)，可以限制a, b的值得到复数z的不同情况.3. 两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条 件进行判断.二、素养训练1.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,贝V实数a, b的值分别是 ()Aa/2, 1B2, 5C.V2, 5Dj2 1a2 = 2 ,解析令得a = 士护,b = 5.-2+b二3,v答案 C2下列复数中，满足方程x2+2 = 0的是()A.1B.iC.Q2iD.2i解析 x2 =- 1 X 2 , .X 二 ：21答案
12、C3.i2 021=.解析 i2 021 二 i2 020i 二(i2)1 010i = ( - 1)1 010i 二 i.答案 i4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2(2+i)x+l+mi = 0(mGR)有一实根为n, 贝卩m=.解析 关于x的方程x2 - (2 + i)x+ 1 +mi = 0(mR)有一实根为n可得n - (2 + i)n+ 1 + mi 二 0.n2 - 2n + 1 = 0 , 所以 所以m = n= 1.m - n = 0.答案 1基础达标一、选择题1设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位，则z等于()A.iB.iC.1D.1解析Vi2=- 1 , A - i2 = i( - i) = 1 , Az=- i.答案 A2. 设a, bR, i是虚数单位，则“ab = 0”是“复数abi为纯虚数”的()A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若复数a - bi为纯虚数，则a二0且bH0，故ab二0.而由ab二0不一定能得到复数a - bi是纯虚数，故“ab二
