《傅里叶系数的推导》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅里叶系数的推导（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、傅里叶级数的数学推导但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域 都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开信号与系统、锁相环原理等书籍， 动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。如下就是傅里叶级数的公式：/V）=峋 + q c崩（血） I - 4 a2 cos（2f?i） +片浙或5）+.+狙 t 佛（乃庭）十 sin（7ji/）+.一蜘 + Ees（地成）+岛fT；n=l其中闩二况七（豚如=j f（f） sin （月血）之不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布一一又臭又长”，而且来历相当蹊跷， 不知那个傅里
2、叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f（t）硬生生地写成这么一大堆东西。单看 那个式，就是把周期函数f（t）描述成一个常数系数a0、及1倍3的sin和cos函数、2倍 的sin和cos函数等、到n倍3的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数， 即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即式，不过为了积分方便，积分区间一 般设为-n, n，也相当一个周期T的宽度。能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生 呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程：1、把一个周期函数表示成三角级数：首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧
3、上作简谐振动、单摆振 动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f（x）=A sin（3t+W）这里t表示时间，A表示振幅，3为角频率，m为初相（与考察时设置原点位置有关）。然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否 用一系列的三角函数Ansin（nst+m）之和来表示那个较复杂的周期函数f（t）呢？因为正弦函数 sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想）f（t）=4）+三&赢3血+甲）J=l这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n， 且n从1到无穷大。这里f（t）是已知
4、函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅 里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅 度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初 相角（即中），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是 一个无穷级数。应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单 的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数， 其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立， 关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把
5、这些系数求出来， 那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f（t）,那么只需用已知函数f（t） 来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形：M帛地（风奴 +供）=.4 min叫,E5伽血）+，cos料 sin聘翎）这个变换并不陌生，源自于三角公式：sin a sin #式中+蓝色项仙sin偲和加!啊,均为苔数*写作气二4知驾且令与=冬这样，公式5就可以写成如下公式6的形式：贝）=牛 十Z囱cos （点血）十前n（zi成）厄）-n=l这个公式6就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn及a0用已 知函数f（t）来表达出来
6、。2、三角函数的正交性:这是为下一步傅里叶级数展开时所用积分的准备知识。一个三角函数系：1, cosx , sinx , cos2x , sin2x ,cosnx , sinnx ,如果这一堆函数（包括常数1）中任何两个不同函 数的乘积在区间-n, n上的积分等于零，就说三角函数系在区间-n, n上正交，即有如 下式子：|cosnxdx = 0Isinnxdx G|sin cos nxdx=Cjcds goe nxdx0Is i nit - sin nxdx=C.J-iTs =璀句)(n = N, * ,kT = 1 2,3,. ?：.k, h = 1, 23 3k 工)： /j = 三.、m
7、 n)以上各式在区间-n, n的定积分均为0,第1第2式可视为三角函数cos和sin与1相 乘的积分；第3-5式则为sin和cos的不同组合相乘的积分式。除了这5个式子外，不可能再有 其他的组合了。注意，第4第5两个式中，k不能等于n,否则就不属于“三角函数系中任意两 个不同函数”的定义了，变成同一函数的平方了。但第3式中，k与n可以相等，相等时也是二 个不同函数。下面通过计算第4式的定积分来验证其正确性，第4式中二函数相乘可以写成：COSl COS/kJx = i COS( + /i)A： + COS(A - 7J)I这个就是三角公式中的“积化和差当kn时，有：J cos kx cosnxd
8、x = cosfi: l n)x cos(A*)x沿1 卢in(上十股)应 sin(fc - fi)x2 F+m 一十一后3L二,;。十。二。可见在指定-n, n的区间里，该式的定积分为0。其他式也可逐一验证。3、函数展开成傅里叶级数:先把傅里叶级数表示为下式，即式:/ =牛 + 勇弓 c邙(她)+ br n=i对式从-n, n积分，得: : ./（C =匚y + ： y k g血）卜瓦浦】伽切1=性十0=*&=时上式右边第二个积分项，由于三角函数息的正交特性 各项在到梧分时，均为9,所以有：这就求得了第一个系数a0的表达式，即最上边傅里叶级数公式里的式。接下来再求an 和bn的表达式。用co
9、s（kot）乘式的二边得：/（/）=的 C 瞒性）2H-l然后对上式从-覆到足逐项积分:冬弓c英（*在V），cos（ra（）+ c麟（加理）Tim?愆就）Jj cQs（ka/） f（t）cli - j 皿浏#国）成十 练cos（iKt） - cos（riti）cit + J cosf.jtftX） sin（z；izt）c# 同样，根据三角第数系的正交性，红色项积分为0蓝色项里仪当kf这一项积分不为0,其余项也为口,所以有：| CGS（kCrJt） -=（ J TOS宵血 25（目庭J-4匚次（膑以% ，电2友=0睿从而有：（把k写%=一r同样，再把（式端乘以sin侬诚河以得到:至此，已经求得傅
10、里叶级数中各系数的表达式，只要这些积分都存在，那么式等号右侧所 表示的傅里叶级数就能用来表达原函数f（t）。上述过程就是整个傅里叶级数的推导过程。事实 上，如果能够写出式，不难求出各个系数的表达式，关键是人们不会想到一个周期函数竟然可 以用一些简单的正弦或余弦函数来表达，且这个表达式是一个无穷级数。这当然就是数学家傅里 叶的天才之作了，我等只有拼命理解的份了。综上，傅里叶级数的产生过程可以分为以下三步：1、设想可以把一个周期函数f（t）通过最简单的一系列正弦函数来表示，即5式;2、通过变形后用三角级数（含sin和cos）来表示；3、通过积分，把各未知系数用f（t）的积分式来表达；4、最后得到的4个表达式就是傅里叶级数公式。在电子学中，傅里叶级数是一种频域分析工具，可以理解成一种复杂的周期波分解成直流项、 基波（角频率为3）和各次谐波（角频率为ns ）的和，也就是级数中的各项。一般，随着n 的增大，各次谐波的能量逐渐衰减，所以一般从级数中取前n项之和就可以很好接近原周期波形。 这是傅里叶级数在电子学分析中的重要应用。
