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1、直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角 ：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线 l ，如果把 x 轴绕着交点按 逆时针方向转 到和直线 l 重合时所转的 最小正角 记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角。 当直线 l 与 x 轴重合或平行时，规定倾斜角为 0；（ 2）倾斜角的范围 0, 。如（ 1）直线 x cos3y 2 0 的倾斜角的范围是 _（答： 0 ， 5 ， )）；66倾斜角的取值范围是0 180 . 倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示 . 倾斜角是 90的直线没有斜率 .（ 2）过点 P( 3,1), Q (0, m) 的直线的倾
2、斜角的范围, 2 , 那么 m 值的范围是 _（答： m2或m 4 ）332、直线的斜率 ：（ 1）定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即 k tan ( 90) ；倾斜角为 90的直线没有斜率； （ 2）斜率公式 ：经过两点 P (x , y ) 、 P ( x , y ) 的直线111222的斜率为 ky1y2 x1 x2 ；（ 3）直线的方向向量 a(1,k) ，直线的方x1x2向向量与直线的斜率有何关系？ （ 4）应用：证明三点共线：kABkBC 。如 (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的_条件（答：既不充分也不必要） ；（ 2）实数 x, y
3、满足 3x2 y 5 0 ( 1 x3 ) ，则 y的最大值、最小值分别为 _（答： 2 ,x1）33、直线的方程 ：（ 1）点斜式 ：已知直线过点 (x0 , y0 ) 斜率为 k ，则直线方程为 yy0k( xx0 ) , 它不包括垂直于x 轴的直线。直线的斜率k0时，直线方程为yy1 ；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为xx1 . （ 2）斜截式 ：已知直线在y 轴上的截距为 b 和斜率 k ，则直线方程为ykxb , 它不包括垂直于x 轴的直线。（3）两点式 ：已知直线经过1 11、222)两点，则直线方程P ( x , y )P ( x , y为 yy
4、1xx1 ，它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角y2y1x2x1为 00 或 90 0 的直线，两点式应变为( yy1 )(x2 x1 )(x x1 )( y2y1 ) 的形式 . （ 4）截距式 ：已知直线在x 轴和 y 轴上的截距为a, b , 则直线方程为xya1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 （ 5）一般式 ：b任何直线均可写成AxByC0 (A,B 不同时为0) 的形式。 如（ 1）经过点（ 2 ， 1）且方向向量为v =( 1,3 ) 的直线的点斜式方程是_（答：y13( x2)）；（2）直线(m2 x)m(2y 1) m，不管 m 怎样变化恒过点 _（答：(
5、1, 2)）；（ 3）若曲线 ya | x |与 yxa(a 0)有两个公共点，则 a 的取值范围是 _（答： a1 ）提醒： (1)直线方程的各种形式都有局限性. （如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）； (2) 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0. 直线两截距相等直线的斜率为 -1 或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。 如过点 A(1,4) ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条（答： 3）4. 设直线方程的一些常用技巧 ：（ 1）知直线纵截距 b ，常设其方程为 y kxb ；（ 2）知直线横
6、截距 x0 ，常设其方程为 xmy x0 ( 它不适用于斜率为0 的直线 ) ；（3）知直线过点 ( x0 , y0 ) ，当斜率 k 存在时，常设其方程为y k (xx0 )y0 ，当斜率 k 不存在时，则其方程为 x x0 ；（ 4）与直线 l : AxByC0平行的直线可表示为AxByC10 ；（ 5）与直线 l : Ax ByC0 垂直的直线可表示为 BxAyC10 .提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（ 1）点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ByC0 的距离 dAx0By0 C ；（2）两平行线
7、A2B2l1: A x B y1C 0 , 2 l : A x B y间的距离为2 C 0dC1C2。A2B26、直线 l1 : A1xB1 yC10 与直线 l2 : A2 xB2 yC20 的位置关系 ：（ 1）平行A1B2A2 B10 （斜率）且 B1C2B2C10（在 y 轴上截距）；（ 2）相交A1B2A2 B10 ；（ 3）重合A1B2A2 B10 且 B1C2B2C10。提醒：（1） A1B1C1、 A1B1、A1B1C1 仅是两直线平行、A2B2C2A2B2A2B2C2相交、重合的充分不必要条件！为什么？（ 2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在
8、立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线； （3）直线 l1 : A1 xB1 yC1 0与直线 l2 : A2 x B2 y C20 垂 直A1 A2B1 B20。如（1）设直线l1 : xm y 6 和0l 2 : (m2) x3 y2m 0 ，当 m _时 l1 l2 ；当 m _时 l1l2 ；当 m _时 l1 与 l2 相交；当 m _时 l1 与 l2 重合（答： 1； 1 ； m3且m1； 3）；（ 2）已知直线 l 的方2程为3x4 y120 ，则与 l 平行，且过点（ 1，3）的直线方程是 _（答：3x4y 90）；（ 3）两条直线 ax y40与 x y 20 相交
9、于第一象限，则实数a的取值范围是 _（答：1a2 ）；（ 4）设 a, b, c分别是 ABC中 A、B、C 所对边的边长， 则直线 sin A xayc0与 bxsin B ysin C0 的位置关系是_（答：垂直） ；（ 5）已知点P ( x , y ) 是直线 l : f ( x, y)0 上一点， P ( x , y ) 是直线 l 外一点，则方程111222f (x, y)f (x1, y1 )f ( x2 , y2 ) 0 所表示的直线与l 的关系是 _（答：平行）；（ 6 ）直线 l 过点（，），且被两平行直线3xy60 和3xy30 所截得的线段长为9，则直线 l 的方程是 _
10、（答：4x3y40和 x1）7、特殊情况下的两直线平行与垂直: 当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1) 当另一条直线的斜率也不存在时， 两直线的倾斜角都为 90，互相平行；(2) 当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90，另一条直线的倾斜角为 0，两直线互相垂直8、对称（中心对称和轴对称） 问题代入法 ：如（1）已知点 M (a, b) 与点 N 关于 x 轴对称，点 P 与点 N 关于 y 轴对称，点 Q与点 P 关于直线x y 0 对称，则点 Q的坐标为 _（答： (b, a) ）；（ 3）点（，）关于直线 l 的对称点为 ( 2,7) ，则 l 的方程是 _（答：y=3x
11、3）；（ 4）已知一束光线通过点 （，），经直线 l :3x 4y+4=0反射。如果反射光线通过点（， 15），则反射光线所在直线的方程是 _（答： 18x y 51 0 ）；（ 5）已知 ABC顶点 A(3， ) ，边上的中线所在直线的方程为 6x+10y 59=0， B 的平分线所在的方程为 x 4y+10=0，求边所在的直线方程 （答： 2x9 y650 ）；（ 6）直线 2x y 4=0 上有一点， 它与两定点 （ 4, 1）、（ 3,4 ）的距离之差最大， 则的坐标是 _（答：（5,6 ）；（ 7）已知 A x轴，B l : y x ，C（ 2， 1）， ABC 周长的最小值为 _（答：10 ）。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9. （ 1）直线过定点。如直线（ 3m+4）x+(5-2m)y+7m-6=0, 不论 m取 何值恒过定点（ -1 ，2）（ 2）直线系方程（ 1）与已知直线 Ax+By+C=0 平行的直线的设法 : Ax+By+m=0 (m C)( 2 )与已知直线Ax+By+C=0 垂直的直线的设法:Bx-Ay+m=0（3）经过直线 l1 A1 x+ B1 y+C1 =0， l 2 A2 x+ B2 y+ C 2 =0 交点的直线设法：A1 x+ B1 y+ C1 +（ A2 x+ B2 y+ C 2 ） =0（ 为参数，不
