变更主元法变更主元法在解答与函数、方程、不等式有关的数学题目时，常常把数学式子中的主元与常量换位(即将主元看作常量)，主元与参数换位，参数与常量换位，产生一种认识上的转化，但并不换元•借助这 种思维方式解题的方法叫做变更主元法.例1.若不等式X2 mx > 4x m 3对于满足 K m < 4的所有实 数m恒成立，求实数x的取值范围.【巧解】〔变更主元法〕 不等式x2 mx >4x m 3 (x 1)m x2 4x 3 >0设f(m) (x 1)m x2 4x 3.视参数m为自变量，主元x为参数，f(m)关于m的一次函数.1°当=1时，f (m)恒等于0,即卩f (m) > 0不成立即x2 mx > 4x m 3不成立.2°当工1时，(x-1 )m x2-4 x+3> 0f(1) 0 f(4) 0x2 3x2 0 x 1 或 x 2x 1 或 x 2x2 1 0x 1 或 x 2综合 1 °、2° 得：x V -1或x > 22例2.求函数y x2 xx x-的值域1【巧解】〔变更主元法〕 易知函数的定义域为R将原函数去分母整理，得：(y 1)x2 (y 1)x (y 1) 0 ①视 y 为某常数.(1) 当 y 1 时，x 0(2) 当y半1时，因x € R,即方程①有实根故(y 1)2 4(y 1)2 >0 即 3y2 10y 3 >0得-y 331综合(1)、( 2)得 1 y 33例3[1997年全国数学高考理科题]若(z x)2 4(x y)(y z) 0 , 求证：x, y,z成等差数列【巧证】〔变更主元法〕 将已知式视为y (y为主元、x、z为常量)的二次方程，有：4y2 4(x z)y (x z)2 0即 2y (x z) 02y x zx y y z按定义，x、y、z成等差数列例 4.设 a,b € R,求证：直线(2a+b) x+(a-b)y+( a-b)=0 总是 经过一个定点：【巧证】〔变更主元法〕 将原方程变形为：(2x y 1)a (x y 1)b 0 (1)视参数a,b为主变数v a,b € R即a,b为任取的两个实数，要(1)式成立，必有2x y 1 0 解得 x 2x y 1 0 y 3就是说，不论a,b取什么实数，x=-2 , y =3,适合上述方程， 即系列直线总是经过定点(-2 , 3)巧练1.函数y x2 -的值域是x巧练2.对满足丨logzP |< 2的一切实数p,求使不等式x2 px 1 > 3x p都成立的x的取值范围.巧练3.求证：当动点P (a,b )在定直线Li： 3x 2y=6上移动 时，动直线L: 2bx ay 1总是经过一个定点，并求此定点的坐标.。