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1、最优控制理论总结宫庆义 2010.6.30精选文档1. 最优控制问题可用下列泛函表示: 2. 最优控制的应用类型:(一) 积分型性能指标: (1) 最小时间控制: (2) 最少燃耗控制: (3) 最少能量控制: (二) 末值型性能指标: (三) 复合性能指标:(1) 状态调节器: (2) 输出跟踪系统:3. 欧拉-拉格朗日方程: 4. 不同边界情况下的横截条件:横截条件与边界条件固定固定自由自由自由约束注: 若 精选文档5. 用变分法求最优解的必要条件正则方程极值条件边界条件与横截条件H变化律(自由)自由末端约束末端自由末端固定例题:(1)求通过点(0,0)及(1,1)且使取极值的轨迹 解:
2、欧拉-拉格朗日方程: 即 由初始条件: 末端条件: 因而极值轨迹为:(2)求使指标取极值的轨迹, 解:这是终端自由的情况, 欧拉-拉格朗日方程为: 即 令 由 又末端自由, 横截条件为: 即 得:或, 对应局部极小, 对应局部极大 精选文档(3)设系统状态方程: 边界条件为: 自由 性能指标为: 要求确定最优控制, 使最小 解: 这是自由问题, 末端状态固定, 是满足约束集的特殊情况, 即 哈密顿函数: 正则方程: 控制方程: 即 : 由正则方程: 所以 于是 再由正则方程: 可得 由初始条件 得 故最优轨迹为: 精选文档(4) 设系统的状态方程为: 边界条件为: , 求, 使为最小解: 协态
3、方程和控制方程为: 即 故可得正则方程: 拉氏变换: 解代数方程得: 拉氏反变换: 由: 得: 注: 拉氏变换表象函数原函数123精选文档4(5)设系统状态方程为: 初始条件为: , 末端条件为: 自由 要求确定最优控制, 使泛函取极小值 解: 边界条件 哈密顿函数: 正则方程: 状态方程: 极值条件: 即 : 边界条件: 对正则方程和状态方程进行拉氏变换: 解以上代数方程得:精选文档 拉氏反变换: 利用末端条件: 最优状态轨迹: 最优协态: 最优控制: (6) 设系统的状态方程为: 指标泛函: 边界条件: 求使指标泛函取极值的极值轨线和极值控制 解: 拉格朗日标量函数: 欧拉方程: 由于状态
4、约束方程: 精选文档 代入边界条件: 得: 于是极值轨线: (7)设性能指标泛函: 求使泛函为极值的最优轨线及相应的 解: 欧拉-拉格朗日方程: 由得: 由横截条件: 最优轨线为: 当时, 即: , 求得末端时刻 将代入指标泛函, 可得最优性能指标 (8) 设系统方程为: 初态: 末端时刻: 末端约束: 性能指标: 精选文档 求使最小的最优控制和相应的最优轨线 解: 由协态方程: 由极值条件: 由状态方程: 由初态: 由目标集: 根据横截条件: 即: 于是解得: 最优解为: 最优轨线: 6. 连续系统极小值原理必要条件:性能指标末端状态正则方程极小值条件边界条件与横截条件H变化律(自由)末端约
5、束精选文档末端自由例题: (1) 最短时间控制问题: 状态方程: 初始条件: 末端条件: 约束控制: 求使性能指标取极小的最优控制. 解: 协态方程: 选择使取极小 为的线性函数, 最多改变一次符号 当时, 状态方程的解为: 消去得相轨迹方程: 当时, 状态方程的解为: 消去得相轨迹方程: 相轨迹的方向总是逆时针 两簇曲线中, 每一簇中有一条曲线的半支进入末端状态点(原点)精选文档 的曲线簇中, 通过原点的曲线方程为: 记: 的曲线簇中, 通过原点的曲线方程为: 记: 称为开关线, 其方程为: 开关线左侧区域用表示, 开关线右侧区域用表示 于是最优控制律, 可以表示为状态的函数, 即 (2)最
6、少燃料控制问题 状态方程: 初始条件: 末端条件: 约束控制: 求使性能指标取极小的最优控制. 解: 协态方程: 使取得极小值, 等价于求下式的极小值 使取得极小值的最优控制律为: 精选文档 当时, (开口向右-抛物线)当时, (开口向左-抛物线)当时, (水平线)由状态方程得:由以上6个方程, 来解6个未知数: (3)设系统状态方程为: 边界条件: 控制约束: , 末端时刻自由 求: 最优控制使性能指标最小 解: 由极小值条件知: 由协态方程: 精选文档 代入状态方程: 由初始条件: 根据末端条件: 根据沿最优轨线变化律: 解得: 最优控制: 验证: 在区间上, 满足要求 最优轨线: 最优性
7、能指标: 7. 对于线性连续系统, 提出二次型目标函数:固定求: 最优反馈控制, 并论述如何选择二次型目标函数中的加权矩阵.解: 协态方程: 控制方程: 横截条件: 由此可见, 协态状态在末端时刻成线性关系. 设: 代入状态方程: 精选文档 由协态方程: 将代入: 由下面的黎卡提矩阵微分方程确定: 边界条件: 由此可得最优反馈控制: 加权阵的选择: 若已知各加权变量允许的最大值为:和 , 8. 最优性原理: 一个多级决策问题的最优决策具有这样的性质: 当把其中任何一级及其及其状态作为初始级 和初始状态时, 则不管初始状态是什么, 达到这个初始状态的决策是什么, 余下的决策对此初始状态必定构成最
8、优策略.例题: (1) 系统方程为: , 给定 (1) (2) 要求: 用动态规划寻找最优控制序列使最小 解: 先考虑最后一步, 即从 这时由(1),(2)得: 求使最小, 得: 精选文档 将代入和得: 再考虑倒数第二步, 即从 这时: 求使最小得: 于是最优性能指标与最优状态转移为: 9. (1)直接法: 在每一步迭代中, 不一定要满足取极小值的必要条件, 而是逐步改善它, 在迭代终了使 它满足这个必要条件, 而且, 积分状态方程是从, 积分协态方程是从, 这样就避免了去寻找缺少的协态初值的困难. 常用的有: 梯度法, 二阶梯度法, 共轭梯度法(2)间接法: 在每一步迭代中, 都要满足取极小值的必要条件, 而且要同时积分状态方程和协态方程, 两种方程的积分都是从或从. 常用的有边界迭代法, 拟线性化法.10. 分离定理: 按照此定理, 可以把最优控制问题和状态变量的最优估计问题分开讨论. 在研究最优控制问题时, 假定所有状态变量都可以直接得到, 而在研究状态变量的最优估计时, 则假定控制信号是已知的确定性函数. 最后把控制器中的状态变量用其估计值代替, 就得到了随机线性系统的最优控制.11. 分离定理应用: 在随机线性系统最优控制中, 目前理论上和应用上比较成熟的是所谓LQG问题, 即线性系 统, 二次型指标, 高斯分布噪声情况下的最优调节器问题. 这时分离定理可以成立.
