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1、坐标系与参数方程【要点知识】一、坐标系1。平面直角坐标系中得伸缩变换设点就是平面直角坐标系中得任意一点,在变换得作用下,点对应到点,我们把称为平面直角坐标系中得坐标伸缩变换,简称伸缩变换、2、极坐标系(1)极坐标系得概念如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点;自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样我们就建立了一个极坐标系。(2)极坐标设点就是平面内一点,极点与点得距离叫做点得极径,记为;以极轴为始边,射线为终边得叫做点得极角,记为。 我们把有序数对叫做点得极坐标,记为、(3)极径、极角得取值范围一般地,极径,极角、。极坐标
2、与直角坐标之间得互化如图所示,设点就是平面内任意一点,记点得直角坐标为,极坐标为、 我们可以得到极坐标与直角坐标之间如下关系:()直角坐标化极坐标:,;()极坐标化直角坐标:,()、【注】上面两类关系式就是我们进行极坐标与直角坐标互化得重要关系式、 解题时,大家要根据题意灵活选用、4、几个简单曲线得极坐标方程()圆得极坐标方程:圆心在(),半径为得圆得极坐标方程为;(2)直线得极坐标方程:经过极点,从极轴到直线得角就是得直线得极坐标方程为与、5、柱坐标系与球坐标系(1)柱坐标系如图所示,建立空间直角坐标系,设点就是空间中任意一点,它在平面上得射影为点,用(,)表示点在平面上得极坐标,这时点得位
3、置可用有序数组()表示。 我们把建立上述对应关系得坐标系叫做柱坐标系;相应地,把有序数组叫做点得柱坐标,记作,其中,、【注】直角坐标与柱坐标互化得变换公式:(2)球坐标系如图所示,建立空间直角坐标系,设点就是空间中任意一点,连结,记,与轴正向所夹得角为,设点在平面上得射影为点,轴按逆时针方向旋转到时所转过得正角为,这样点得位置就可以用有序数组表示、 我们把建立上述对应关系得坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系);相应地,把有序数组叫做点得球坐标,记作,其中,、【注】直角坐标与球坐标互化得变换公式:二、参数方程、参数方程得概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点得坐标,都就是某个变数得函
4、数,并且对于得每一个允许值,由方程组所确定得点都在这条曲线上,那么我们就把方程组叫做这条曲线得参数方程,而把联系变数,得变数叫做参变数,简称参数、2。参数方程与普通方程之间得互化曲线得参数方程与普通方程就是曲线方程得两种不同形式、 一般地,可以通过消去参数,由参数方程得到普通方程;反之,如果已知变数,中得一个与参数得关系,例如,则我们可以通过把它代入普通方程,求出另一个变数与参数得关系,由此得到得方程组就就是该曲线得参数方程、【注】在解决参数方程与普通方程互化得问题时,必须要使,得取值范围保持一致。3、几个简单曲线得参数方程(1)圆得参数方程:圆心在原点,半径为得圆得参数方程为(为参数);(2)椭圆得参数方程:中心在原点,焦点在轴上得椭圆得参数方程为(为参数);(3)双曲线得参数方程:中心在原点,焦点在轴上得双曲线得参数方程为(为参数),这里,就是得正割函数,并且;(4)抛物线得参数方程:以原点为顶点,以轴为对称轴,开口向右得抛物线()(不包括原点)得参数方程为(为参数);(5)直线得参数方程:过点,倾斜角为()得直线得参数方程为(为参数);(6)渐开线得参数方程:(为参数);()摆线得参数方程:(为参数)。
